【算法学习】左偏树

左偏树

左偏树是一种可以快速合并的可并堆，相对于普通的二叉堆，左偏树的合并可以做到$log(p_1+p_2)$，是一种十分优秀的数据结构。

性质

左偏树是一种可并堆的实现，是一颗二叉树，它除了有二叉树的左右儿子，还有2个属性，键和距离。下面是左偏树的一些基本性质。

1. 节点的键值小于或等于左右子节点的键值。这是左偏树的堆性质。
2. 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。
3. 节点的距离等于它的右子节点距离加一。
4. 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
5. 若一棵左偏树的距离为$k$，则这棵左偏树至少有$2^{k+1}-1$个节点。
6. 一棵$N$个节点的左偏树距离最多为$\lfloor log(N+1)-1\rfloor$。

操作

以下操作均维护一个小根堆，如果涉及到两个左偏树，那么树根分别为$x,y$，否则树根为$x$。

数据结构如下：

struct node {
   
   
    int val, lc, rc, dis, fa;
}tree[nmax];

val表示值，lc合rc分别表示左子树合右子树，dis表示节点的距离，fa表示父亲（根据实际情况，有些题目不需要）。

合并

合并是最基本的操作，根据性质1，可以设计出以下算法。

1. 简单情况，如果$x$为空树，直接返回$y$；如果$y$为空树，直接返回$x$。
2. 如果不满足1，继续判断。如果$x$的根节点val大于$y$根节点的val，那么swap($x$, $y$)，目的是保证把大的合并到小的上。
3. 将$y$的根和$x$的右子树判断是否满足2的规则，递归合并，缩小规模，直到一个叶子节点，那么直接修改$tre$