c++ 左偏树简析 猴王例题讲解

题目：猴王 Monkey King

题目描述

很久很久以前，在一个广阔的森林里，住着n只好斗的猴子。起初，它们各干各的，互相之间也不了解。但是这并不能避免猴子们之间的争吵，当然，这只存在于两个陌生猴子之间。当两只猴子争论时，它们都会请自己最强壮的朋友来代表自己进行决斗。显然，决斗之后，这两只猴子以及它们的朋友就互相了解了，这些猴子之间将再也不会发生争论了，即使它们曾经发生过冲突。
假设每一只猴子都有一个强壮值，每次决斗后都会减少一半(比如10会变成5，5会变成2.5)。并且我们假设每只猴子都很了解自己。就是说，当它属于所有朋友中最强壮的一个时，它自己会站出来，走向决斗场。

输入

输入分为两部分。
第一部分，第一行有一个整数n(n<=100000)，代表猴子总数。
接下来的n行，每行一个数表示每只猴子的强壮值(小于等于32768)。
第二部分，第一行有一个整数m(m<=100000)，表示有m次冲突会发生。
接下来的m行，每行包含两个数x和y，代表第x个猴子和第y个猴子之间发生冲突。

输出

输出每次决斗后在它们所有朋友中的最大强壮值。数据保证所有猴子决斗前彼此不认识。

样例输入

  5
  20
  16
  10
  10
  4
  4
  2 3
  3 4
  3 5
  1 5

样例输出

  8
  5
  5
  10

解析

首先，看到题目我们首先会想到，并查集和堆，因为我们每一次都要从一群猴子中找出最强壮的，暴力搜一遍显然不行，因此要用到堆，然后两只猴子打架后需要将两群猴子合并，因此要用到并查集，但是同时写这两种数据结构太麻烦，所以要借助一种既具有查找功能又具有合并功能的数据结构–左偏树。
下面简单讲一讲左偏树，首先定义几个概念，
1.外结点：左子树或右子数为空的结点即无左子树或右子树。
2.结点i的距离:结点i到后代最近的外结点的所经过的边数。
3.左偏性质:一棵左偏树中任意结点的左子结点距离大于右子节点距离。

上图

图中外结点有18 20 19 24 15 30 28 11 21 16 42 50 33 26 27。
蓝色数字为该结点的距离。
由第二，三条概念得一个结点的距离一定是它右子结点(如果有)的距离+1,因为左子结点距离大于等于右子结点距离，结点距离又要求最近。

左偏树基本操作(大根为例)：

1.合并操作(合并两棵左偏树):将两棵树中较大的根结点，作为合并后的树的根结点，将根较小的树与根较大的树的右子结点继续合并操作，直到无子结点。合并后如果不满足左偏树性质，即左子结点距离小于右子结点距离则维护，即交换指针。
2.插入(加入一个结点到树中):易得单个结点也属于左偏树，因此可以将单个结点视为一棵左偏树进行一次合并操作。
3.删除操作(删除根结点):合并左右两棵子树即可。

可以说实际上，左偏树就只有一种操作，合并。

上图(小顶树，跟我不一样）: