【算法学习】FHQ Treap （无旋Treap）

FHQ Treap

简介

FHQ Treap和普通的Treap都是一个二叉搜索堆，其同时满足二叉树的性质（左子树的权值小于等于当前节点权值，右子树权值大于当前节点权值）和堆的性质（对于小根堆，当前节点的优先级是堆中最小的)。

FHQ Treap与一般的Treap的不同之处主要在于：

1. 不用旋转，用split和merge来为维护堆的优先级。
2. 能够可持久化。

操作

FHQ Treap的核心操作是split和merge，其他的操作均以这两个操作为基础进行。

下面所述操作的数据如下所示：

struct node {
    
    
    int val, rnk, lc, rc, size;
}tree[nmax];

val表示节点的权值，用来维护二叉搜索树的性质；rnk表示节点的权值，用来维护堆的性质。lc和rc分别表示节点左子树和右子树的编号，size表示节点的大小（包括本节点在内）。

split

split要实现的是将一颗Treap分为两颗Treap，其中左Treap（以$a$为根节点）中节点权值均小于等于目标值val，右Treap（以$b$为根节点）中节点权值均大于目标值val。

给定根$rt$，如果$tree[rt].val\le val$，那么说明$rt$及其左子树均可以划分给左树$a$的左子树，接下来只需要考虑左树$a$的右子树是什么。这时问题可以变为：对于给定的根$tree[rt].rc$（因为$rt$的左子树已经划分给了$a$），按照目标权值$val$将其划分为以$tree[a].rc$和右树$b$的两颗Treap。问题可以递归求解。

考虑另一种情况，如果$tree[rt].val>val$，那么说明$rt$及其右子树均可以划分给右树$b$的右子树，按照刚才的套路，只需要考虑右树$b$的左子树是什么。问题进而变为：对于给定的根$tree[rt].lc$（因为$rt$的右子树已经划分给了$b$），按照目标权值