【算法学习】主席树入门

主席树入门

主席树，也叫做可持久化线段树，准确来说，应该叫做可持久化权值线段树，因为其中的每一颗树都是一颗权值线段树。

所谓权值线段树，就是指线段树的叶子节点保存的是当前值的个数。这样说起来比较抽象，下面用具体例子来简单阐述。

如有数列：2 1 2 5 1 1 1 3，不难统计出，数列中数字1出现了4次，数字2出现了2次，数字3、数字5都出现了1次，对于这个数列，我们可以说 $a[1] = 4, a[2] = 2, a[3] = 1, a[4] = 0, a[5] = 1$。如果放在权值线段树种，$a[i]$中的下标$i$不再是对应的数值，而是对应叶子节点的编号了。但是道理是一样的。

为了实现可持久化，就要保存树的历史版本。最自然的想法当然是每进行一次修改，就新建一颗线段树，这样的空间复杂度显然是不能够接受的。通过观察不难发现，每次进行单点修改，发生变化的只有从叶子节点到根节点这一条链上的节点，换句话说，只有 log