22、快速小波变换：原理、算法与应用

快速小波变换：原理、算法与应用

1. 快速小波变换概述

在信号处理领域，快速小波变换（FWT）是一种高效的工具，用于信号的分解与重构。其核心问题在于如何高效地计算投影算子 $\text{Proj} {V_j}$ 和 $\text{Proj} {W_j}$，并且避免显式地计算积分。为了解决这个问题，我们利用多分辨率分析中连续子空间之间的递归分解和重构过程，依赖于双尺度关系来实现。

2. 双尺度关系与内积

双尺度关系描述了多分辨率分析中连续子空间之间的相互依赖关系，具体由以下两个方程表示：
- $\varphi(x) = \sum_{k} h_k\varphi_{-1,k}(x)$
- $\psi(x) = \sum_{k} g_k\varphi_{-1,k}(x)$

通过这两个关系，我们可以将尺度空间 $V_j$ 和小波空间 $W_j$ 在第 $j$ 层的基函数用后续更精细尺度空间 $V_{j - 1}$ 的基函数表示。具体如下：
- $\varphi_{j,k}(x) = \sum_{n} h_{n - 2k}\varphi_{j - 1,n}(x)$
- $\psi_{j,k}(x) = \sum_{n} g_{n - 2k}\varphi_{j - 1,n}(x)$

利用这些表达式，我们可以递归地计算内积 $\langle f, \varphi_{j,k} \rangle$ 和 $\langle f, \psi_{j,k} \rangle$：
- $\langle f, \varphi_{j,k} \rangle = \sum_{n} h_{n - 2k}\la