39、2 - 流形提取与度量聚类算法研究

2 - 流形提取与度量聚类算法研究

2 - 流形提取相关内容

在三维空间中提取二维流形的局部性研究里，有诸多重要的引理和结论。

首先是关于 $\beta$-骨架的引理。任何 $\beta$-骨架的有界面大小为 $O\left(\left(\frac{2(k + \epsilon)}{(\alpha - \epsilon)k}\right)^{2(\sigma + 1)}\right)$。证明思路是，固定一个有界面 $f$，存在一条 Delaunay 边 $e = (u, v)$ 以平衡的方式切割该面。引理 1、2（针对 Delaunay 边的版本）和 3 对 $u$ 和 $v$ 在 $\beta$-骨架中的跳数距离进行了上界限制。最短的 $uv$ 路径 $p$ 不一定沿着面的边界，但 $p$ 和 $e$ 会“包围”一条沿着边界的路径 $p’$，通过填充论证可知 $p’$ 也不会太长。由此可知，集合 $S$ 的 $\beta$-骨架诱导出一个连通的平面图，且其面的大小恒定。还需证明 $S$ 的 $\beta$-骨架的所有边在 $CDM(S)$ 中也被识别为邻接边，当 $\beta > 1$ 时，$S$ 的 $\beta$-骨架中相邻的点 $s_1$、$s_2$ 在 Voronoi 图中共享一条“相对较长”的 Voronoi 边，长度为 $|s_1s_2|\sqrt{\beta^2 - 1}$，通过选择足够大的 $k$（依赖于 $\beta$）可使这条长 Voronoi 边在 $\alpha$-qUDG 中通过相应的见证路径体现出来，进而得出推论：由 $S$ 和算法识别的邻接关系所诱导的图是平面的、连通的，且内部面的大小为 $O(1)$。

接下来考虑三维空间中的保守邻接关系。设