13、混沌系统预测与高维数据聚类投影方法

混沌系统预测与高维数据聚类投影方法

1. 回声状态网络（ESN）基础

回声状态网络（ESN）在混沌系统预测中表现出了强大的能力。ESN的回声状态属性（ESP）可通过缩放循环矩阵的权重来控制，确保网络动态随时间收敛，且不会放大输入中的小扰动。

实现回声状态属性的另一种方法是使用稀疏连接的循环权重矩阵，将其视为复杂图的邻接矩阵，这样网络就能利用图的复杂信息传播动态。例如，使用Watts - Strogatz模型的邻接矩阵作为ESN的循环层，其小世界网络特性有助于实现复杂的信息流动态。

ESN的优势还在于可以使用简单的线性回归技术进行训练，计算效率高且易于实现。训练过程主要包括两个阶段：
- 内部状态收集阶段 ：用随机权重初始化ESN并实现ESP后，将输入数据馈入网络，网络处理数据，为每个时间步t生成内部状态h(t)，收集这些内部状态用于训练输出层。
- 输出回归阶段 ：使用收集的内部状态训练输出矩阵Wout，通过求解线性回归问题Wouth(t) = y(t + 1)得到Wout，通常使用正则化最小二乘回归方法，如岭回归。岭回归通过在最小二乘目标函数中添加惩罚项来防止过拟合，目标函数为：
[
y_{target} - W_{out}h + \beta|W_{out}|^2
]
其中，(y_{target})是目标输出，(h)是ESN的状态向量，(\beta)是控制惩罚项强度的正则化参数。

训练ESN时，超参数的选择很重要，如谱半径、输入缩放因子、岭回归的正则化参数和水库大小等，这些超参数会显著影响ESN的性能，通常通过试错法或更复杂