一、特征值和特征向量介绍
本章会开启线性代数的新内容。前面的第一部分是关于 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b：平衡、均衡和稳定状态；现在的第二部分是关于变化的。时间会加入进来 —— 连续时间的微分方程 d u / d t = A u \pmb{\textrm{d}u}/\textrm dt=A\boldsymbol u du/dt=Au，或离散时间的差分方程 u k + 1 = A u k \boldsymbol u_{k+1}=A\boldsymbol u_k uk+1=Auk。这些方程无法用消元法求解。
关键的思想是要避免矩阵 A A A 所带来的复杂性。假设解向量 u ( t ) \boldsymbol u(t) u(t) 固定在向量 x \boldsymbol x x 的方向，我们就只需要找到数字（随时间变化）然后乘上 x \boldsymbol x x。一个数字要比一个向量简单。我们希望 “特征向量”（eigenvetors） x \boldsymbol x x 在被 A A A 乘后不会改变方向。
矩阵的幂 A , A 2 , A 3 , ⋯ A,A^2,A^3,\cdots A,A2,A3,⋯ 就是一个好的模型，假设需要 100 100 100 次方 A 100 A^{100} A100，它的列非常接近特征向量 ( 0.6 , 0.4 ) (0.6,0.4) (0.6,0.4)： A , A 2 , A 3 = [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] , [ 0.70 0.45 0.30 0.55 ] , [ 0.650 0.525 0.350 0.475 ] A 100 = [ 0.6000 0.6000 0.4000 0.4000 ] A,A^2,A^3=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0.70&0.45\\0.30&0.55\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0.650&0.525\\0.350&0.475\end{bmatrix}\kern 10pt\pmb{A^{100}=\begin{bmatrix}0.6000&0.6000\\0.4000&0.4000\end{bmatrix}} A,A2,A3=[0.80.20.30.7],[0.700.300.450.55],[0.6500.3500.5250.475]A100=[0.60000.40000.60000.4000] A 100 A^{100} A100 是用 A A A 的特征值（eigenvalues）求得，而不是乘 100 100 100 次矩阵，这些特征值（这里是 λ = 1 \lambda=1 λ=1 和 λ = 1 / 2 \lambda=1/2 λ=1/2）是一种新的看矩阵核心的方法。
在解释特征值前，先来解释特征向量。几乎所有的向量被 A A A 乘后都会改变方向，某些特殊的向量 x \boldsymbol x x 和 A x A\boldsymbol x Ax 在同一方向，这些就是 “特征向量”。 A A A 乘上一个特征向量，得到的向量 A x A\boldsymbol x Ax 等于一个数字 λ \lambda λ 乘上原始的向量 x \boldsymbol x x。 基本的方程是 A x = λ x 。数字 λ 是 A 的一个特征值。 \color{blue}{基本的方程是\,A\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x}。数字\,\lambda\,是\,A\,的一个特征值。 基本的方程是Ax=λx。数字λ是A的一个特征值。特征值 λ \lambda λ 告诉我们当 A A A 乘上向量 x \boldsymbol x x 后，这个向量是被拉伸、压缩、反向还是不变。特征值可以是 λ = 2 \lambda=2 λ=2，或 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21，或 − 1 -1 −1 或 1 1 1，它还可以为零！则 A x = 0 x A\boldsymbol x=0\boldsymbol x Ax=0x 表明特征向量 x \boldsymbol x x 是在零空间中。
如果 A A A 是单位矩阵，则每个向量都有 A x = x A\boldsymbol x=\boldsymbol x Ax=x，所有的向量都是 I I I 的特征向量，所有的特征值都是 λ = 1 \lambda=1 λ=1，这不是常见的情况。大部分 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵有两个方向的特征向量和两个特征值。后面会证明 det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det(A−λI)=0。
如何计算特征向量 x \boldsymbol x x 和特征值 λ \lambda λ 呢？下面以 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵为例，我们使用 det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det(A−λI)=0 来求特征值。
【例1】矩阵 A A A 有两个特征值 λ = 1 \lambda=1 λ=1 和 λ = 1 2 \lambda=\displaystyle\frac{1}{2} λ=21，检验 det ( A − λ I ) \det (A-\lambda I) det(A−λI)： A = [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] det [ 0.8 − λ 0.3 0.2 0.7 − λ ] = λ 2 − 3 2 λ + 1 2 = ( λ − 1 ) ( λ − 1 2 ) A=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\kern 10pt\det\begin{bmatrix}0.8-\lambda&0.3\\0.2&0.7-\lambda\end{bmatrix}=\lambda^2-\frac{3}{2}\lambda+\frac{1}{2}=(\lambda-1)(\lambda-\frac{1}{2}) A=[0.80.20.30.7]det[0.8−λ0.20.30.7−λ]=λ2−23λ+21=(λ−1)(λ−21)将二次多项式分解成 λ − 1 \lambda-1 λ−1 乘 λ − 1 2 \lambda -\displaystyle\frac{1}{2} λ−21，可以得到两个特征值是 λ = 1 \pmb{\lambda=1} λ=1 和 λ = 1 2 \pmb{\lambda=\displaystyle\frac{1}{2}} λ=21。这些数字使得矩阵 A − λ I A-\lambda I A−λI 是奇异的（行列式为零），特征向量 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 x 2 \boldsymbol x_2 x2 在 A − I A-I A−I 和 A − 1 2 I A-\displaystyle\frac{1}{2}I A−21I 的零空间中。
( A − I ) x 1 = 0 (A-I)\boldsymbol x_1=\boldsymbol 0 (A−I)x1=0 是 A x 1 = x 1 A\boldsymbol x_1=\boldsymbol x_1 Ax1=x1，第一个特征向量是 ( 0.6 , 0.4 ) (\pmb{0.6,0.4}) (0.6,0.4)。
( A − 1 2 I ) x 2 = 0 (A-\displaystyle\frac{1}{2}I)\boldsymbol x_2=\boldsymbol 0 (A−21I)x2=0 是 A x 2 = 1 2 x 2 A\boldsymbol x_2=\displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2 Ax2=21x2，第二个特征向量是 ( 1 , − 1 ) (\pmb{1,-1}) (1,−1)： x 1 = [ 0.6 0.4 ] 和 A x 1 = [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] [ 0.6 0.4 ] = x 1 ( A x = x 表明 λ = 1 ) x 2 = [ 1 − 1 ] 和 A x 2 = [ 0.8 0.3 0.2 0.7 ] [ 1 − 1 ] = [ 0.5 − 0.5 ] ( 这是 1 2 x 2 , 所以 λ = 1 2 ) \begin{array}{l}\boldsymbol x_1=\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}\kern 5pt和\kern 5ptA\boldsymbol x_1=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}=\boldsymbol x_1\kern 10pt(A\boldsymbol x=\boldsymbol x\,表明\,\lambda=1)\\\,\\\boldsymbol x_2=\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}\kern 5pt和\kern 5ptA\boldsymbol x_2=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt0.5\\-0.5\end{bmatrix}\kern 10pt(这是\,\displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2,所以\,\lambda=\frac{1}{2})\end{array} x1=[0.60.4]和Ax1=[0.80.20.30.7][0.60.4]=x1(Ax=x表明λ=1)x2=[1−1]和Ax2=[0.80.20.30.7][1−1]=[0.5−0.5](这是21x2,所以λ=21)如果 x 1 \boldsymbol x_1 x1 再被 A A A 乘，我们仍然会得到 x 1 \boldsymbol x_1 x1， A A A 的幂会得到 A n x 1 = x 1 A^n\boldsymbol x_1=\boldsymbol x_1 Anx1=x1。 x 2 \boldsymbol x_2 x2 被 A A A 乘得到 1 2 x 2 \displaystyle\frac{1}{2}\boldsymbol x_2 21x2，如果再被 A A A 乘得到 ( 1 2 ) 2 \Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^2 (21)2 乘 x 2 \boldsymbol x_2 x2。 若 A 取平方，特征向量不变，特征值也取平方。 \color{blue}若\,A\,取平方，特征向量不变，特征值也取平方。 若A取平方，特征向量不变，特征值也取平方。这种模式会保持下去，因为特征向量保持自己的方向不会被混淆（Figure 6.1）， A 100 A^{100} A100 的特征向量也是同样的 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 x 2 \boldsymbol x_2 x2， A 100 A^{100} A100 的特征值是 1 100 = 1 1^{100}=1 1100=1 和 ( 1 2 ) 100 = \Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^{100}= (21)100= 非常小的数。 
其它的向量会改变方向，但是其它的所有向量都是这两个特征向量的组合， A A A 的第一列是组合 x 1 + ( 0.2 ) x 2 \boldsymbol x_1+(0.2)\boldsymbol x_2 x1+(0.2)x2： 分开特征向量 然后用 A 乘 [ 0.8 0.2 ] = x 1 + ( 0.2 ) x 2 = [ 0.6 0.4 ] + [ 0.2 − 0.2 ] ( 6.1.1 ) \begin{array}{l}\pmb{分开特征向量}\\\pmb{然后用\,A\,乘}\end{array}\kern 20pt\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}=\boldsymbol x_1+(0.2)\boldsymbol x_2=\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\kern 7pt0.2\\-0.2\end{bmatrix}\kern 10pt(6.1.1) 分开特征向量然后用A乘[0.80.2]=x1+(0.2)x2=[0.60.4]+[0.2−0.2](6.1.1)
我们分开乘 x 1 \boldsymbol x_1 x1 和 ( 0.2 ) x 2 (0.2)\boldsymbol x_2 (0.2)x2， A A A 乘上 x 2 \boldsymbol x_2 x2 就是它的特征值 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 乘上 x 2 \boldsymbol x_2 x2： λ i 乘上每个 x i A [ 0.8 0.2 ] = x 1 + 1 2 ( 0.2 ) x 2 = [ 0.6 0.4 ] + [ 0.1 − 0.1 ] = [ 0.7 0.3 ] \pmb{\lambda_i\,乘上每个\,\boldsymbol x_i}\kern 15ptA\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}=\boldsymbol x_1+\frac{1}{2}(0.2)\boldsymbol x_2=\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\kern 7pt0.1\\-0.1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix} λi乘上每个xiA[0.80.2]=x1+21(0.2)x
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