5.1 行列式的性质

一、行列式概述

方阵的行列式（determinant）是一个数字，这个数字包含了这个矩阵的大量信息，它可以立即告诉我们这个矩阵是否可逆。当行列式为零时，矩阵不可逆。如果 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}$ 的行列式是 $1/(\det A)$。如果 $\det A=2$，则 $\det A^{-1}=\frac{1}{2}$。实际上 $A^{-1}$ 中的每个元素都可以由行列式得到一个公式。
行列式的一个用途是 —— 求出逆矩阵、主元和 $A^{-1}\mathbf{b}$ 解的公式。对于大型矩阵，我们很少使用这些公式，因为用消元法会更快。一个 $2\times 2$ 的矩阵，元素分别是 $a,b,c,d$，它的逆矩阵 $A^{-1}$ 可以由行列式 $ad-bc$ 得到，注意是除以行列式！$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]有逆矩阵A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right](\mathrm{5.1.1})$$这两个矩阵相乘得到 $I$。当行列式 $ad-bc=0$ 时，这时要除以零，由于除数不能为零，所以这时 $A$ 没有逆矩阵。（当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时，矩阵的两行是平行的，也会得到 $ad=bc$ 且 $\det A=0$.）相关行一定会得到 $\det A=0$。
行列式也和主元有关联，对于 $2\times 2$ 的矩阵的主元是 $a$ 和 $d-\frac{c}{a}b$。主元的乘积就是行列式： $$主元的乘积a(d-\frac{c}{a}b)=ad-bc就是\det A$$一次行交换后主元变成了 $c$ 和 $b-\frac{a}{c}d$，这两个新的主元相乘得到 $bc-ad$。矩阵进行行交换后 $\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$ 会使转行列式的符号反转。$$n\times n的矩阵的行列式可以由三种方法得到:$$

1. $n$ 个主元相乘（乘 $1$ 或 $-1$）\kern 49pt这是主元公式（pivot formula）
2. 将 $n!$ 个项相加（乘 $1$ 或 $-1$）\kern 44pt这是大公式（big formula）
3. 组合 $n$ 个小一些的行列式（乘 $1$ 或 $-1$）\kern 5pt这是代数余子式公式（cofactor formula）

从上面可以看到正号或负号 —— 最终要在 $1$ 或 $-1$ 之间做决定 —— 这是行列式中很重大的一部分。它来自于下面的 $n\times n$ 矩阵的行列式规则：$$当矩阵的两行(或两列)交换后，行列式的符号会改变。$$单位矩阵的行列式是 $+1$，交换两行后有 $\det P=-1$，再交换两行后得到新的置换矩阵有 $\det A=+1$。有一半的置换矩阵是交换偶数次（$\det P=1$），另一半的置换矩阵是交换奇数次（$\det P=-1$）。$2\times 2$ 的情形，$ad$ 的符号是正，$bc$ 的符号是负，行交换后，它们的符号会改变：$$\det \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\det \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=-1$$另外一个重要的法则是线性，但是先给出一个警告：线性并不是说 $\det (A+B)=\det A+\det B$，这个绝对是错的！ 这种线性甚至是当 $A=I$ 和 $B=I$ 时都不成立。错误的规则是 $\det (I+I)=1+1=2$，正确的规则是 $\det 2I=2^n$。当矩阵乘上 $2$ 时，它的行列式需要乘上 $2^n$（不仅是 $2$）。
我们不用公式定义行列式，我们从它的性质开始 —— 符号反转和线性。首先是性质，然后是公式，最后是应用，包含以下三种：

1. 用行列式得到 $A^{-1}$ 和 $A^{-1}\mathbf{b}$（这个公式称为克拉默法则Cramer’s Rule）
2. 当盒子的边是 $A$ 的行时，体积就是 $|\det A|$
3. 存在 $n$ 个特殊数字 $\lambda$，称为特征值（eigenvalues），$A-\lambda I$ 的行列式是零。这是一个非常重要的应用。

二、行列式的性质

行列式有三个基本的性质（规则 $1,2,3$），使用这些规则我们可以计算任意方阵 $A$ 的行列式。行列式可以写成两种形式，$\det A$ 或 $|A|$。注意：中括号表示的是矩阵，直线表示的是行列式。如果 $A$ 是 $2\times 2$ 的矩阵，通过规则 $1,2,3$ 我们可以得到答案：$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]的行列式是\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$通过规则 $1-3$ 我们可以得到规则 $4-10$，最后两个规则是 $\det (AB)=(\det A)(\det B)$ 和 $\det A^T=\det A$。我们会使用 $2\times 2$ 矩阵来检验这些规则，需要记住的是：这些规则适用于所有的 $n\times n$ 的矩阵 $A$。
规则 $1$（最简单的），$\det I=1$ 与体积 $=1$ 的单位立方体相匹配。
1 \kern 5pt$n\times n$ 单位矩阵的行列式是 $1$。$$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{ccc}1& & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right|=1$$2 \kern 5pt交换两行，行列式符号会改变（符号反转）：$$检验：\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|(两边都等于bc-ad)$$由这个规则，我们可以求出任意置换矩阵的行列式 $\det P$，只交换 $I$ 的行，直到得到 $P$，若交换次数为偶数次，则有 $\det P=+1$；若交换此时为奇数次，则有 $\det P=-1$。
第三个规则对于所有矩阵的行列式来说是迈了一大步。

3 \kern 5pt行列式对于每个行都是线性函数（其它行保持固定）。
如果 $t$ 乘上第一行，则行列式也会被 $t$ 乘。如果第一行相加，则行列式也相加。这个规则只有当其它行不变时才适用！注意 $c$ 和 $d$ 是如何保持不变的：

$$\begin{array}{cl}\begin{array}{c}任意数t乘行1\\ t乘行列式\end{array}& \left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\\ & \\ \begin{array}{c}A的行1与A^{\prime }的行1相加：\\ 它们的行列式相加\end{array}& \left|\begin{array}{cc}a+a^{\prime }& b+b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|\end{array}$$

第一种情形，两边都是 $tad-tbc$，$t$ 可以提出。第二种情形，两边都是 $ad+a^{\prime }d-bc-b^{\prime }c$。这些规则同样适用于 $n\times n$ 的矩阵 $A$，行交换也是一样。$$A=\left|\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=4\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 8& 8\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$$规则 $3$ 并没有说明这些行列式是多少（$\det A$ 是 $4$）。
乘法和加法的组合，可以得到一行的任意线性组合，规则 $2$ 可以将这一行放在第一行，然后在交换回去。
这个规则并不是说 $\det 2I=2\det I$，要得到 $2I$，我们需要将每一行都乘上 $2$，因子 $2$ 要提出来两次：$$\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=2^2=4,\left|\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& t\end{array}\right|=t^2$$这个就像面积和体积，将一个矩形扩展为原来的 $2$ 被，它的面积会变为原来的 $4$ 倍。将一个 $n$ 维的盒子扩展为原来的 $n$ 倍，它的体积将会变为原来的 $t^n$ 倍。这个联系并不是偶然 —— 行列式是等于体积的。
注意这三个特殊的规则 $1-3$，它们可以完全决定 $\det A$ 这个数。我们可以通过它们来得到 $n\times n$ 行列式的公式，会比较复杂。后面规则 $4-10$ 也可以通过这三个规则得到，使用这些规则可以让行列式的计算更简单。

4 \kern 5pt 如果 $A$ 有两行相等，则 $\det A=0$$$相等的行检验2\times 2的行列式：\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|=0$$规则 $4$ 是由规则 $2$ 得来的（我们一定要使用这个规则，而不是用 $2\times 2$ 的公式）。交换两个相等的行后，行列式 $D$ 要改变符号，但是 $D$ 又一样，因为矩阵没有发生变化，则唯一满足 $-D=D$ 的数字就是 $D=0$，这个行列式的值一定是 $0$。（注：这个理由在布尔代数中是不成立的，因为 $-1=1$，则 $D$ 由规则 $1,3,4$ 定义。）
有两个相等行的矩阵是没有逆矩阵的，由规则 $4$ 得 $\det A=0$，但是当矩阵没有相等行时，也可能是奇异的且行列式为零！规则 $5$ 是关键，我们可以进行行运算（就像消元法一样）而不改变 $\det A$。

5 \kern 5pt从另一行减去某一行的倍数，$\det A$ 不变$$从行2减去l倍的行1\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c-la& d-lb\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$使用规则 $3$（线性）将左侧分成右侧加上另一项 $-l\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right|$，由规则 $4$ 可得额外的一项是零：它有两行相等。因此规则 $5$ 是正确的（不仅适用于 $2\times 2$）。
结论： 正常执行从 $A$ 到 $U$ 的消元步骤不会改变行列式，因此 $\det A$ 等于 $\det U$。如果得到了三角矩阵 $U$ 的行列式，也就得到了所有矩阵 $A$ 的行列式。每一次行交换都会改变符号，因此有 $\det =\pm \det U$。规则 $5$ 将这个问题缩小至了三角矩阵。

6 \kern 5pt如果矩阵 $A$ 有一行全为零，则 $\det A=0$$$零行\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right|=0$$简单证明：将其它行加到零行，行列式不变（规则 $5$），但是由于矩阵有两个相等的行，所以由规则 $4$ 可知 $\det A=0$。

7 \kern 5pt如果 $A$ 是三角形矩阵，则 $\det A=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}=$ 对角元素的乘积$$三角形\left|\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right|=ad,\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& d\end{array}\right|=ad$$假设所有的对角元素都是非零值，我们可以通过消元法将非对角元素的值都变为零！（如果 $A$ 是下三角矩阵，下面的行减去它上面每行的乘数倍；如果 $A$ 是上三角矩阵，从上面行减去它下面每行的乘数倍。）由规则 $5$ 我们知道消元过程中行列式保持不变 —— 现在的矩阵是个对角矩阵：$$对角矩阵\det \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & 0\\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & a_{nn}\end{array}\right]=(a_{11})(a_{22})\cdots (a_{nn})$$因数 $a_{11}$可以通过规则 $3$ 从第一行提出来，然后将 $a_{22}$ 从第二行提出来，最终将 $a_{nn}$ 从第最后一行提取出来。行列式就是 $a_{11}$ 乘 $a_{22}$ 乘 $\cdots$ 乘 $a_{nn}$ 乘 $\det I$，最后使用规则 $1$，$\det I=1$ 得到三角矩阵的行列式是它对角元素之积。
如果有一个对角元素 $a_{ii}=0$ 会怎样呢？此时三角矩阵 $A$ 是奇异的，使用消元法可以得到零行。由规则 $5$ 行列式不变的性质以及规则 $6$ 有零行的矩阵行列式 $\det A=0$，我们得到了一个测试矩阵是奇异还是可逆的很棒的方法。

8 \kern 5pt 如果 $A$ 奇异则 $\det A=0$，如果 $A$ 可逆则 $\det A\ne 0$$$奇异\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]奇异当且仅当ad-bc=0$$证明： 通过消元法将 $A$ 变成 $U$。如果 $A$ 是奇异的，则 $U$ 至少有一个零行，则由规则 $5$ 和规则 $6$ 得 $\det A=\det U=0$。如果 $A$ 是可逆的，则 $U$ 的主元都在对角线上，由规则 $7$ 知这些非零主元的乘积就得到一个非零的行列式：

$$主元相乘\det A=\pm \det U=\pm (主元的乘积)(\mathrm{5.1.2})$$

$2\times 2$ 矩阵的主元（如果 $a\ne 0$）是 $a$ 和 $d-\left(\frac{c}{a}\right)b$：$$行列式是\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d-\left(\frac{c}{a}\right)b\end{array}\right|=ad-bc$$这是行列式的第一个公式。MATLAB 是使用主元的乘积来求 $\det A$ 的。$\pm \det U$ 中的符号是由行交换的次数是奇数次还是偶数次决定的：$+1$ 或 $-1$ 是用于行交换的置换矩阵的行列式：
没有行交换，$P=I$ 且 $\det A=\det U=主元的乘积$，且 $\det L=1$：$$如果PA=LU，则\det P\det A=\det L\det U，\det A=\pm \det U(\mathrm{5.1.3})$$

9 \kern 5pt$AB$ 的行列式是 $\det A$ 乘 $\det B$：$|AB|=|A||B|$
$$乘积规则\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}ap+br& aq+bs\\ cp+dr& cq+ds\end{array}\right|$$当矩阵 $B$ 是 $A^{-1}$ 时，这个规则就说明 $A^{-1}$ 的行列式是 $1/\det A$：

$$A乘A^{-1}A{A}^{-1}=I所以(\det A)(\det A^{-1})=\det I=1$$

这个乘积规则是目前为止最复杂的，甚至于 $2\times 2$ 的情况下也需要一些代数运算：$$|A||B|=(ad-bc)(ps-qr)=(ap+br)(cq+ds)-(aq+bs)(cp+dr)=|AB|$$对于 $n\times n$ 的情况，有一个简洁的证明 $|AB|=|A||B|$ 的方法。当 $|B|$ 不是零时，考虑比值 $D(A)=|AB|/|B|$，检验比值 $D(A)$ 是否有性质 $1,2,3$，$D(A)$ 一定是行列式且有 $|AB|/|B|=|A|$。
性质1 （$I$ 的行列式）如果 $A=I$，则比值 $D(A)$ 就变为 $|B|/|B|=1$。
性质2 （符号反转）当交换 $A$ 的两个行后，$AB$ 的两个行也会被交换。因此 $|AB|$ 改变符号，比值 $|AB|/|B|$ 也改变符号。
性质3 （线性）当 $t$ 乘上 $A$ 的行 $1$ 后，也会有 $t$ 乘上 $AB$ 的行 $1$，行列式就会变成 $t$ 乘 $AB$，所以有比值 $|AB|/|B|$ 被 $t$ 乘。
\kern 30pt将 $A$ 的行 $1$ 加到 $A^{\prime }$ 的行 $1$ 上，则 $AB$ 的行 $1$ 加到 $A^{\prime }B$ 的行 $1$。由规则 $3$ 得，行列式也会相加 $|AB|+|A^{\prime }B|$，除以 $|B|$ 后，比值也相加。
结论： 比值 $|AB|/|B|$ 与定义的 $|A|$ 有 $3$ 个相同的性质，所以它等于 $|A|$。这样就证明了 $|AB|=|A||B|$。若是 $|B|=0$ 的情形，由于 $B$ 奇异可得 $AB$ 是奇异的，则 $|AB|=|A||B|=0$。

10 $A$ 和它的转置 $A^T$有相同的行列式$$转置\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|两边都等于ad-bc$$当 $A$ 是奇异矩阵时（$A^T$ 也是奇异矩阵），上述方程 $|A^T|=|A|$ 就变成了 $0=0$；当 $A$ 不是奇异矩阵时，$A$ 可以进行分解 $PA=LU$，两边同时转置 $A^T{P}^T=U^T{L}^T$，下面利用规则 $9$ 来证明 $|A|=|A^T|$：$$比较\det P\det A=\det L\det U和\det A^T\det P^T=\det U^T\det L^T$$首先，$\det L=\det L^T=1$，这是因为它们的对角线元素都是 $1$；其次，$\det U=\det U^T$，因为三角矩阵转置后对角线元素相同；最后，$\det P=\det P^T$，因为 $P$ 是置换矩阵，则有 $P^{T}P=I$，所以由规则 $9$ 有 $|P^T||P|=1$，又因为 $|P|$ 和 $|P^T|$ 要么等于 $1$ 要么等于 $-1$，所以有 $|P|=|P^T|$。所以，$L,U,P$ 和 $L^T,U^T,P^T$ 的行列式相同，可得 $\det A=\det A^T$。

关于列的重要注释： 每一条对行的规则也适用于列（只需要进行转置，因为 $|A|=|A^T|$）。如果交换两列，则行列式也会改变符号。零列或有两个相等的列都会使得行列式为零。如果使用 $t$ 乘上某一列，则行列式也会乘 $t$。行列式对于单个列是线性函数。

三、主要内容总结

1. 行列式由前三个性质定义：$\det I=1$，符号反转和每行的线性。
2. 消元后 $\det A=\pm (主元的乘积)$。
3. 当且仅当 $A$ 不可逆时，行列式为零。
4. 两个重要性质：$\det AB=(\det A)(\det B)$ 和 $\det A^T=\det A$。

四、例题

【例1】对于矩阵 $A$ 进行以下运算，求出 $M_1,M_2,M_3$ 的行列式：
$M_1$：用 $(-1{)}^{i+j}$ 乘上每个 $a_{ij}$，得到棋盘式的符号模式。
$M_2$：从 $A$ 的行 $1,2,3$ 减去它的行 $3,1,2$。
$M_3$：$A$ 的行 $1,2,3$ 加上它的行 $3,1,2$。
$M_1,M_2,M_3$ 的行列式和 $A$ 的行列式有什么关系？$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& -a_{12}& a_{13}\\ -a_{21}& a_{22}& -a_{23}\\ a_{31}& -a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{row1}-\text{row}3\\ \text{row}2-\text{row}1\\ \text{row}3-\text{row}2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{row}1+\text{row}3\\ \text{row}2+\text{row}1\\ \text{row}3+\text{row}2\end{array}\right]$$

解： 这三个行列式的值分别是 $\det A,0,2\det A$：$$M_1=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & -1& \\ & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & -1& \\ & & 1\end{array}\right],所以\det M_1=(-1)(\det A)(-1)=\det A$$$M_2$ 是奇异矩阵，因为它的行加起来是零行，所以行列式为零。
$M_3$ 的行列式可以由规则 $3$（每行的线性）分成 $8$ 个行列式之和：$$\left|\begin{array}{c}\text{row}1+\text{row}3\\ \text{row}2+\text{row}1\\ \text{row}3+\text{row}2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\text{row}1\\ \text{row}2\\ \text{row}3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}3\\ \text{row}2\\ \text{row}3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}1\\ \text{row}1\\ \text{row}3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}3\\ \text{row}1\\ \text{row}3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}1\\ \text{row}2\\ \text{row}2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}3\\ \text{row}2\\ \text{row}2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}1\\ \text{row}1\\ \text{row}2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\text{row}3\\ \text{row}1\\ \text{row}2\end{array}\right|$$除了第一个和最后一个，其余的行都有重复的行，它们的行列式是零，第一个就是 $\det A$，最后一个需要对 $A$ 进行两次行交换，所以 $\det M_3=\det A+\det A=2\det A$。

【例2】解释如何通过运算得到下面的行列式：$$\det \left[\begin{array}{ccc}1-a& 1& 1\\ 1& 1-a& 1\\ 1& 1& 1-a\end{array}\right]=a^2(3-a)(\mathrm{5.1.4})$$解： 分别从行 $1$ 和行 $2$ 中减去行 $3$，得到 $$\det \left[\begin{array}{ccc}-a& 0& a\\ 0& -a& a\\ 1& 1& 1-a\end{array}\right]$$然后将列 $1$ 加到列 $3$，再将列 $2$ 加到列 $3$，得到下面的一个下三角矩阵，对角元素是 $-a,-a,(3-a)$，所以 $\det =(-a)(-a)(3-a)=a^2(3-a)$。$$\left[\begin{array}{ccc}-a& 0& 0\\ 0& -a& 0\\ 1& 1& 3-a\end{array}\right]$$如果 $a=0$ 或 $a=3$ 时，这个行列式是零。若 $a=0$，会得到一个全 $1$ 矩阵，肯定是奇异的；若 $a=3$，每一行相加都等于零，也是奇异的。数字 $0$ 和 $3$ 是全 $1$ 矩阵的特征值。

【例3】使用 MATLAB 计算。希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）hilb(n) 的第 $i,j$ 元素是 $1/(i+j-1)$。打印出 hilb(1), hilb(2),…,hilb(10) 的行列式。希尔伯特矩阵很难处理。hilb(5) 的主元是什么？

解： MATLAB 的程序：

for n=1:10							% 打印出 hilb(1)~hilb(10)的行列式
    fprintf('%e\n', det(hilb(n))); 
end
format rat;							% 格式以分数形式输出
[L, U] = lu(hilb(5));				% 对hilb(5)进行LU分解					
disp(U)								% U的主元即hilb(5)的主元

运行结果如下：希尔伯特矩阵数值困难，是病态的。

【例4】$n=50,100,200,400$ 时，rand(n) 和 randn(n) 的行列式（实验）的典型值时多少？在 MATLAB 中 “Inf” 是什么意思？

解： MATLAB 的程序：

n = 25;
for i=1:4
    n = n*2;
    fprintf('rand(%d) = %e\n', n, det(rand(n)));	% rand(n)是n×n的方阵，元素是(0,1)内均匀分布的随机数
    fprintf('randn(%d) = %e\n', n, det(randn(n)));	% randn(n)是n×n的方阵，元素是标准正态分布的随机数
end

运行结果如下：
在 MATLAB 中，Inf 代表 $\ge 2^{1024}$ 的数，它的意思是无穷大，MATLAB 允许的最大数 $1.999999999999999\times 2^{1023}\approx 1.8\times 10^{308}$，再多 $1$ 个 $9$ 就是 Inf。

【例5】$6\times 6$ 的全部由 $1$ 或 $-1$ 组成的矩阵，求出行列式最大的矩阵。
解 ： MATLAB 程序如下：

n = 6;			% n×n 的矩阵				 
p = (n-1)^2; 	% 总共循环 2^p 次
A0 = ones(n); 	% 初始是 n×n 的全 1 矩阵
maxdet = 0;		% 存储最大的行列式
for k = 0:2^p-1
    Asub = rem(floor(k.*2.^(-p+1:0)), 2);	% .^ 表示依次求幂，这里是计算 2 的 -p+1~0 次方;k.* 是 k 依次乘上此向量的每个数；
    										% floor(x) 得到小于或等于 x 的整数; rem(a,b) 得到 a/b 的余数，a 可以是向量
    A = A0;
    A(2:n, 2:n) = 1 - 2*reshape(Asub, n-1, n-1);	% reshape(Ausb, n-1, n-1) 将 Ausb 重构为 n-1 × n-1 的矩阵；
    												%最终结果赋值给矩阵 A 的 2~n 行 × 2~n 列
    if abs(det(A)) > maxdet
        maxdet = abs(det(A)); 		% 得到最大的行列式 maxdet
        maxA = A;					% 最大行列式的矩阵 maxA
    end
end
fprintf('maxA =\r\n');
disp(maxA);
fprintf('maxdet = %d\n', maxdet);

将 $6\times 6$ 的所有元素都是 $1$ 或 $-1$ 的矩阵，转换成 $5\times 5$ 的所有元素是 $0$ 或 $1$ 的矩阵问题。将六行都乘上 $1$ 或 $-1$，使得第一列的元素都是 $1$，然后将六列都乘上 $1$ 或 $-1$，使得第一行的元素都为 $1$，这些变换不会使得行列式的绝对值变化，故只需要遍历右下角的 $5\times 5$ 的全元素都是 $1$ 或 $-1$ 的行列式，找到最大的行列式，然后输出相应的矩阵。
上述 MATLAB 程序中的 Asub = rem(floor(k.*2.^(-p+1:0)), 2); 这里的 Ausb 是一个 $1\times p$ 的矩阵，它的变化是 $$\left[\begin{array}{cccc}\cdots & 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\cdots & 0& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\cdots & 0& 1& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\cdots & 0& 1& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\cdots & 1& 0& 0\end{array}\right]\to \cdots$$然后通过 A(2:n, 2:n) = 1 - 2*reshape(Asub, n-1, n-1); 将其所有元素变成 $1$ 或 $-1$，$0$ 变成 $1$，$1$ 变成 $-1$，依次完成子矩阵的全部遍历。程序运行结果如下，$n=6$ 时比较耗时，大约几分钟：