5.1 行列式的性质

一、行列式概述

方阵的行列式（determinant）是一个数字，这个数字包含了这个矩阵的大量信息，它可以立即告诉我们这个矩阵是否可逆。当行列式为零时，矩阵不可逆。如果 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}$ 的行列式是 $1/(\det A)$。如果 $\det A=2$，则 $\det A^{-1}=\frac{1}{2}$。实际上 $A^{-1}$ 中的每个元素都可以由行列式得到一个公式。
行列式的一个用途是 —— 求出逆矩阵、主元和 $A^{-1}\mathbf{b}$ 解的公式。对于大型矩阵，我们很少使用这些公式，因为用消元法会更快。一个 $2\times 2$ 的矩阵，元素分别是 $a,b,c,d$，它的逆矩阵 $A^{-1}$ 可以由行列式 $ad-bc$ 得到，注意是除以行列式！$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]有逆矩阵A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right](\mathrm{5.1.1})$$这两个矩阵相乘得到 $I$。当行列式 $ad-bc=0$ 时，这时要除以零，由于除数不能为零，所以这时 $A$ 没有逆矩阵。（当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时，矩阵的两行是平行的，也会得到 $ad=bc$ 且 $\det A=0$.）相关行一定会得到 $\det A=0$。
行列式也和主元有关联，对于 $2\times 2$ 的矩阵的主元是 $a$ 和 $d-\frac{c}{a}b$。主元的乘积就是行列式： $$主元的乘积a(d-\frac{c}{a}b)=ad-bc就是\det A$$一次行交换后主元变成了 $c$ 和 $b-\frac{a}{c}d$，这两个新的主元相乘得到 $bc-ad$。矩阵进行行交换后 $\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$ 会使转行列式的符号反转。$$n\times n的矩阵的行列式可以由三种方法得到:$$

1. $n$ 个主元相乘（乘 $1$ 或 $-1$） \kern 49pt 这是主元公式（pivot formula）
2. 将 $n!$ 个项相加（乘 $1$ 或 $-1$） \kern 44pt 这是大公式（big formula）
3. 组合 $n$ 个小一些的行列式（乘 $1$ 或 $-1$） \kern 5pt 这是代数余子式公式（cofactor formula）

从上面可以看到正号或负号 —— 最终要在 $1$ 或 $-1$ 之间做决定 —— 这是行列式中很重大的一部分。它来自于下面的 $n\times n$ 矩阵的行列式规则：$$当矩阵的两行(或两列)交换后，行列式的符号会改变。$$单位矩阵的行列式是 $+1$，交换两行后有 $\det P=-1$，再交换两行后得到新的置换矩阵有 $\det A=+1$。有一半的置换矩阵是交换偶数次（$\det P=1$），另一半的置换矩阵是交换奇数次（$\det P=-1$）。$2\times 2$ 的情形，$ad$ 的符号是正，$bc$ 的符号是负，行交换后，它们的符号会改变：$$\det \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\det \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=-1$$另外一个重要的法则是线性，但是先给出一个警告：线性并不是说 $\det (A+B)=\det A+\det B$，这个绝对是错的！ 这种线性甚至是当 $A=I$ 和 $B=I$ 时都不成立。错误的规则是 $\det (I+I)=1+1=2$，正确的规则是 $\det 2I=2^n$。当矩阵乘上 $2$ 时，它的行列式需要乘上 $2^n$（不仅是 $2$）。
我们不用公式定义行列式，我们从它的性质开始 —— 符号反转和线性。首先是性质，然后是公式，最后是应用，包含以下三种：

1. 用行列式得到 $A^{-1}$ 和 $A^{-1}\mathbf{b}$（这个公式称为克拉默法则Cramer’s Rule）
2. 当盒子的边是 $A$ 的行时，体积就是 $|\det A|$
3. 存在 $n$ 个特殊数字 $\lambda$，称为特征值（eigenvalues），$A-\lambda I$ 的行列式是零。这是一个非常重要的应用。

二、行列式的性质

行列式有三个基本的性质（规则 $1,2,3$），使用这些规则我们可以计算任意方阵 $A$ 的行列式。行列式可以写成两种形式，$\det A$ 或 $|A|$。注意：中括号表示的是矩阵，直线表示的是行列式。如果 $A$ 是 $2\times 2$ 的矩阵，通过规则 $1,2,3$ 我们可以得到答案：$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]的行列式是\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$通过规则 $1-3$ 我们可以得到规则 $4-10$，最后两个规则是 $\det (AB)=(\det A)(\det B)$ 和 $\det A^T=\det A$。我们会使用 $2\times 2$ 矩阵来检验这些规则，需要记住的是：这些规则适用于所有的 $n\times n$ 的矩阵 $A$。
规则 $1$（最简单的），$\det I=1$ 与体积 $=1$ 的单位立方体相匹配。
1 \kern 5pt $n\times n$ 单位矩阵的行列式是 $1$。$$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{ccc}1& & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right|=1$$2 \kern 5pt 交换两行，行列式符号会改变（符号反转）：$$检验：\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|(两边都等于bc-ad)$$由这个规则，我们可以求出任意置换矩阵的行列式 $\det P$，只交换 $I$ 的行，直到得到 $P$，若交换次数为偶数次，则有 $\det P=+1$；若交换此时为奇数次，则有 $\det P=-1$。
第三个规则对于所有矩阵的行列式来说是迈了一大步。

3 \kern 5pt 行列式对于每个行都是线性函数（其它行保持固定）。
如果 $t$ 乘上第一行，则行列式也会被 $t$ 乘。如果第一行相加，则行列式也相加。这个规则只有当其它行不变时才适用！注意 $c$ 和 $d$ 是如何保持不变的：

任意数   t   乘行   1 t   乘行列式 ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣     A   的行   1   与   A ′   的行   1   相加： 它们的行列式相加 ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \begin{array}{cl}\begin{matrix}\pmb{任意数\,t\, 乘行\,1}\\\pmb{t\,乘行列式}\end{matrix}&{\color{blue}\begin{vmatrix}ta&tb\\c&d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}~\\\,\\ \begin{matrix}\pmb{A\,的行\,1\,与\,A'\,的行\,1\,相加：}\\\pmb{它们的行列式相加}\end{matrix}&\color{blue}\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}\end{array}