行列式的性质

  像其他的矩阵运算一样,行列式也具有一些有趣并有用的性质:

  1.矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式:|M| = |Mt|

  2.两个矩阵之积的行列式等于两个矩阵的行列式之积:|MN| = |M||N|

  3.矩阵的逆矩阵的行列式等于矩阵行列式的倒数:|M^(-1)| = 1/|M|

  4.单位矩阵的行列式等于1:|I| = 1

  5.数量与矩阵之积的行列式等于数量的矩阵大小次幂与矩阵的行列式之积:|αM| = α^n|M|(M是n×n矩阵)

  6.交换M的任意两行(或两列)将该面|M|的符号

  7.如果用常数α乘以M的任意行(或列)的所有元素,则行列式将等于α|M|

  8.如果M的两行(或两列)相同,则|M| = 0

  9.三角形矩阵的行列式等于对角线上元素之积:

|a1,1 a1,2 ... a1,n|    |a1,1 0      ... 0      |

|0      a2,2 ... a2,n|    |a2,1 a2,2 ... 0      |

|.        .      .   .      |    |.    .  .           .       |

|.        .       .  .      | = |.    .   .          .       | = a1,1a2,2...an,n

|.        .        . .      |    |.    .    .         .       |

|0      0    ...   an,n|    |an,1 an,2 ... an,n |

  摘自<<计算机图形学几何工具算法详解>>.

  努力吧!克服3D与图形学的困难!

### 行列式的数学定义 行列式是线性代数中的一个重要概念,主要用于描述方阵的特性。对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $,其行列式记作 $ \det(A) $ 或者 $ |A| $。行列式的数学定义可以表示为: $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} $$ 其中: - $ S_n $ 是所有 $ n $ 个元素的排列集合; - $ \text{sgn}(\sigma) $ 是排列 $ \sigma $ 的符号函数(如果排列是偶排列,则值为 1;如果是奇排列,则值为 -1); - $ a_{i,\sigma(i)} $ 是矩阵 $ A $ 的第 $ i $ 行和第 $ \sigma(i) $ 列的元素。 ### 主要性质 1. **行列式与转置**:矩阵 $ A $ 和它的转置矩阵 $ A^T $ 的行列式相等,即 $ \det(A) = \det(A^T) $。 2. **行列式与行(列)交换**:如果交换矩阵的任意两行或两列,行列式的值会改变符号。 3. **行列式与行(列)倍加**:将某一行(列)的倍数加到另一行(列)上,行列式的值不变。 4. **行列式与行(列)乘法**:如果将某一行(列)的所有元素都乘以一个常数 $ k $,则行列式的值也会被乘以 $ k $。 5. **行列式与零行(列)**:如果矩阵中有一行或一列全为零,则该矩阵的行列式为零。 6. **行列式与比例行(列)**:如果矩阵中有两行或两列成比例,则行列式的值为零。 7. **行列式与单位矩阵**:单位矩阵的行列式为 1。 8. **行列式与矩阵乘积**:两个矩阵相乘的行列式等于各自行列式的乘积,即 $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $。 9. **行列式与逆矩阵**:如果矩阵 $ A $ 可逆,则 $ \det(A^{-1}) = 1/\det(A) $。 ### 在数学和计算机科学中的应用 1. **解线性方程组**:行列式可以用来判断一个线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。例如,克莱姆法则利用行列式来求解线性方程组的解。 2. **特征值和特征向量**:在计算矩阵的特征值时,行列式用于构造特征多项式。 3. **几何变换**:在计算机图形学中,行列式可以用来计算线性变换的缩放因子,特别是在三维空间中的体积变化。 4. **数值分析**:行列式在数值方法中用于评估矩阵的条件数,从而判断数值稳定性。 5. **密码学**:在某些加密算法中,行列式性质被用来生成和验证数字签名。 这些性质和应用展示了行列式在数学和计算机科学中的重要性和广泛用途。 ```python import numpy as np # 创建一个 3x3 的矩阵 A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) # 计算行列式 det_A = np.linalg.det(A) print("行列式:", det_A) # 计算逆矩阵 A_inv = np.linalg.inv(A) print("逆矩阵:\n", A_inv) # 验证 det(A) * det(A_inv) ≈ 1 print("det(A) * det(A_inv):", det_A * np.linalg.det(A_inv)) ```
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