5.2 晶体管的高频等效模型

从晶体管的物理结构出发，考虑发射结和集电结电容的影响，就可以得到在高频信号作用下的物理模型，称为混合 $\pi$ 模型。由于晶体管的混合 $\pi$ 模型与 $h$ 参数等效模型在低频信号作用下具有一致性，因此，可用 $h$ 参数来计算混合 $\pi$ 模型中的某些参数，并用于高频信号作用下的电路分析。

一、晶体管的混合 π 模型

1、完整的混合 π 模型

图5.2.1(a)所示为晶体管结构示意图。$r_c$ 和 $r_e$ 分别为集电区体电阻和发射区体电阻，它们的数值较小，常常忽略不计。$C_{\mu }$ 为集电结电容，$r_{b^{\prime }{c}^{\prime }}$ 为集电结电阻，$r_{b{b}^{\prime }}$ 为基区体电阻，$C_{\pi }$ 为发射结电容，$r_{b^{\prime }{e}^{\prime }}$ 为发射结电阻。图(b)是与图(a)对应的混合 $\pi$ 模型。
图中，由于 $C_{\pi }$ 与 $C_{\mu }$ 的存在，使 ${\dot{I}}_c$ 和 ${\dot{I}}_b$ 的大小、相角均与频率有关，即电流放大系数是频率的函数，应记作 $\dot{\beta }$。根据半导体物理的分析，晶体管的受控电流 ${\dot{I}}_c$ 与发射结电压 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 成线性关系，且与信号频率无关。因此，混合 $\pi$ 模型中引入了一个新参数 $g_m$，$g_m$ 为跨导，描述 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 对 ${\dot{I}}_c$ 的控制作用，即 ${\dot{I}}_c=g_m{\dot{U}}_{b^{\prime }e}$。

2、简化的混合 π 模型

在图5.2.1(b)所示电路中，通常情况下，$r_{ce}$ 远大于 c - e 间所接的负载电阻，而 $r_{b^{\prime }c}$ 也远大于 $C_{\mu }$ 的容抗，因而可认为 $r_{ce}$ 和 $r_{b^{\prime }e}$ 开路，如图5.2.2(a)所示。由于 $C_{\mu }$ 跨接在输入与输出回路之间，使电路的分析变得十分复杂。因此，为简单起见，将 $C_{\mu }$ 等效到输入回路和输出回路中去，称为单向化。单向化是通过等效变换来实现的，设 $C_{\mu }$ 折合到 b’ - e 间的电容为 $C_{\mu }^{\prime }$，折合到 c - e 间的电容为 $C_{\mu }^{\prime \prime }$，则单向化之后的电路如图(b)所示。
等效变换过程如下：在图(a)所示电路中，从 $b^{\prime }$ 看进去 $C_{\mu }$ 中流过的电流为$${\dot{I}}_{C_{\mu }}=\frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}-{\dot{U}}_{ce}}{X_{C_{\mu }}}=\frac{(1-\dot{K}){\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{X_{C_{\mu }}}(\dot{K}=\frac{{\dot{U}}_{ce}}{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}})$$为保证变换的等效性，要求流过 $C_{\mu }^{\prime }$ 的电流仍为 ${\dot{I}}_{C_{\mu }}$，而它的端电压为 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$，因此 $C_{\mu }^{\prime }$ 的电抗为$$X_{C_{\mu }^{\prime }}=\frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{{\dot{I}}_{C_{\mu }}}=\frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{(1-\dot{K})\frac{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{X_{C_{\mu }}}}=\frac{X_{C_{\mu }}}{1-\dot{K}}$$考虑在近似计算时，$\dot{K}$ 取中频时的值，所以 $|\dot{K}|=-\dot{K}$（因为 ${\dot{U}}_{ce}$ 与 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 反相）。$X_{C_{\mu }^{\prime }}$ 约为 $X_{C_{\mu }}$ 的 $(1+\dot{K})$ 分之一，$X=\frac{1}{j\omega C}$，因此$$C_{\mu }^{\prime }=(1-\dot{K})C_{\mu }\approx (1+|\dot{K}|)C_{\mu }(\mathrm{5.2.1})$$$b^{\prime }$ - e 间总电容为$$C_{\pi }^{\prime }=C_{\pi }+C_{\mu }^{\prime }\approx C_{\pi }+(1+|\dot{K}|)C_{\mu }(\mathrm{5.2.2})$$用同样的方法分析，可以得出$$C_{\mu }^{\prime \prime }=\frac{\dot{K}-1}{\dot{K}}\cdot C_{\mu }(\mathrm{5.2.3})$$因为 $C_{\pi }^{\prime }>>C_{\mu }^{\prime \prime }$，且一般情况下 $C_{\mu }^{\prime \prime }$ 的容抗远大于 $R_L^{\prime }$，$C_{\mu }^{\prime \prime }$ 中的电流可忽略不计，所以简化的混合 $\pi$ 模型如图($c$)所示。

3、混合 π 模型的主要参数

将简化的混合 $\pi$ 模型与简化的 $h$ 参数等效模型相比较，它们的电阻参数是完全相同的，从手册中可查得 $r_{b{b}^{\prime }}$，而$$r_{b^{\prime }e}=(1+{\beta }_0)\frac{U_T}{I_{EQ}}(\mathrm{5.2.4})$$式中 ${\beta }_0$ 为低频段晶体管的电流放大系数。虽然利用 $\beta$ 和 $g_m$ 表述的受控关系不同，但是它们所要表述的却是同一个物理量，即$${\dot{I}}_c=g_m{\dot{U}}_{b^{\prime }e}={\beta }_0{\dot{I}}_b$$由于 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}={\dot{I}}_b{r}_{b^{\prime }e}$，且 $r_{b^{\prime }e}$ 如式（5.2.4）所示，又由于通常 ${\beta }_0>>1$，所以$$g_m=\frac{{\beta }_0}{r_{b^{\prime }e}}\approx \frac{I_{EQ}}{U_T}(\mathrm{5.2.5})$$在半导体器件手册中可以查得参数 $C_{ob}$，$C_{ob}$ 是晶体管为共基接法且发射极开路时 c - b 间的结电容，$C_{\mu }$ 近似为 $C_{ob}$。$C_{\pi }$ 的数值可通过手册给出的特征频率 $f_T$ 和放大电路的静态工作点求解，见下面的分析。$\dot{K}$ 是电路的电压放大倍数，可通过计算得到。

二、晶体管电流放大倍数的频率响应

从混合 $\pi$ 等效模型可以看出，管子工作在高频段时，若基极注入的交流电流 ${\dot{I}}_b$ 的幅值不变，则随着信号频率的升高，$b^{\prime }$ - e 间的电压 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 的幅值将减小，相移将增大；从而使 ${\dot{I}}_c$ 的幅值随着 $|{\dot{U}}_{b^{\prime }e}|$ 线性下降，并产生与 ${\dot{U}}_{b^{\prime }e}$ 相同的相移。可见，在高频段，当信号频率变化时 ${\dot{I}}_c$ 与 ${\dot{I}}_b$ 的关系也随之变化，电流放大系数不是常量，$\dot{\beta }$ 是频率的函数。
根据电流放大系数的定义$$\dot{\beta }=\frac{{\dot{I}}_c}{{\dot{I}}_b}{|}_{U_{CE}}$$表明 $\dot{\beta }$ 是在 c - e 间无动态电压，即令图5.2.2($c$) 所示电路中 c - e 间电压为零时动态电流 ${\dot{I}}_c$ 与 ${\dot{I}}_b$ 之比，因此 $\dot{K}=0$。根据式（5.2.2）$$C_{\pi }^{\prime }\approx C_{\pi }+(1+|\dot{K}|)C_{\mu }=C_{\pi }+C_{\mu }$$由于 ${\dot{I}}_c=g_m{\dot{U}}_{b^{\prime }e}$，$g_m={\beta }_0/r_{b^{\prime }e}$，所以$$\dot{\beta }=\frac{{\dot{I}}_c}{{\dot{I}}_{r_{b^{\prime }e}}+{\dot{I}}_{C_{\pi }^{\prime }}}=\frac{g_m{\dot{U}}_{b^{\prime }e}}{{\dot{U}}_{b^{\prime }e}(\frac{1}{r_{b^{\prime }e}}+j\omega C_{\pi }^{\prime })}=\frac{{\beta }_0}{1+j\omega r_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{\prime }}(\mathrm{5.2.6})$$与式（5.1.5）的形式完全一样，说明 $\dot{\beta }$ 的频率响应与低通电路相似。$f_{\beta }$ 为 $\dot{\beta }$ 的截止频率，称为共射截止频率。$$f_{\beta }=\frac{1}{2\pi \tau }=\frac{1}{2\pi r_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{\prime }}(C_{\pi }^{\prime }=C_{\pi }+C_{\mu })(\mathrm{5.2.7})$$将其代入式（5.2.6），其中 $f=\frac{\omega }{2\pi }$，得出$$\dot{\beta }=\frac{{\beta }_0}{1+j\frac{f}{f_{\beta }}}(\mathrm{5.2.8})$$写出 $\dot{\beta }$ 的对数幅频特性与对数相频特性为$$\{\begin{array}{c}20\lg |\dot{\beta }|=20\lg {\beta }_0-20\lg \sqrt{1+(\frac{f}{f_{\beta }}}{)}^2(\mathrm{5.2.9}a)\\ \phi =-\arctan \frac{f}{f_{\beta }}(\mathrm{5.2.9}b)\end{array}$$画出 $\dot{\beta }$ 的折线化波特图如图5.2.3所示，图中 $f_T$ 是使 $|\dot{\beta }|$ 下降到 1 （即 0 dB）时的频率。令式（5.2.9a）等于 0，则 $f=f_T$，由此可求出 $f_T$。$$20\lg {\beta }_0-20\lg \sqrt{1+{\left(\frac{f_T}{f_{\beta }}\right)}^2}或\sqrt{1+{\left(\frac{f_T}{f_{\beta }}\right)}^2}={\beta }_0$$因 $f_T>>f_{\beta }$，所以$$f_T\approx {\beta }_0{f}_{\beta }(\mathrm{5.2.10})$$利用 $\dot{\beta }$ 的表达式，可以求出 $\dot{\alpha }$ 的截止频率$$\dot{\alpha }=\frac{\dot{\beta }}{1+\dot{\beta }}=\frac{\frac{{\beta }_0}{1+jf/f_{\beta }}}{1+\frac{{\beta }_0}{1+jf/f_{\beta }}}=\frac{{\beta }_0}{1+{\beta }_0+jf/f_{\beta }}=\frac{\frac{{\beta }_0}{1+{\beta }_0}}{1+j\frac{f}{(1+{\beta }_0)f_{\beta }}}$$$$\dot{\alpha }=\frac{{\alpha }_0}{1+j\frac{f}{f_{\alpha }}}[f_{\alpha }=(1+{\beta }_0)f_{\beta }](\mathrm{5.2.11})$$$f_{\alpha }$ 是使 $|\dot{\alpha }|$ 下降到 $70.7\%{\alpha }_0$ 的频率，称为共基截止频率。式（5.2.11）表明$$f_{\alpha }=(1+{\beta }_0)f_{\beta }\approx f_T(\mathrm{5.2.12})$$可见，共基电路的截止频率远高于共射电路的截止频率，因此共基放大电路可作为宽频带放大电路。
在器件手册中查出 $f_{\beta }$（或 $f_T$）和 $C_{ob}$（近似为 $C_{\mu }$），并估算出发射极静态电流 $I_{EQ}$，从而得到 $r_{b^{\prime }e}$ [见式（5.2.4）]，再根据式（5.2.7）、（5.2.10）就可求出 $C_{\pi }$ 的值。