5.1 频率响应概述

一、研究放大电路频率响应的必要性

在放大电路中，由于电抗元件（如电容、电感线圈等）及半导体管极间电容的存在，当输入信号的频率过低或过高时，不但放大倍数的数值会变小，而且还将产生超前或者滞后的相移，说明放大倍数是信号频率的函数，这种函数关系称为频率响应或频率特性。放大电路的“通频带”就是用来描述电路对不同频率信号适应能力的动态参数，对于任何一个具体的放大电路都有一个确定的通频带。因此，在设计电路时，必须首先了解信号的频率范围，以便使用的电路具有适应于该信号频率范围的通频带；在使用电路前，应查阅手册、资料，或实测其通频带，以便确定电路的适用范围。
以前电路分析中，所用的双极型管和单极型管的等效模型均未考虑极间电容的作用，即认为它们对信号频率呈现出的电抗值为无穷大，因而它们只适用于对低频信号的分析。

二、频率响应的基本概念

在放大电路中，由于耦合电容的存在，对信号构成了高通电路，即对于频率足够高的信号电容相当于短路，信号几乎毫无损失地通过；而当信号频率低到一定程度时，电容的容抗不可忽略，信号将在其上产生压降，从而导致放大倍数的数值减小且产生相移。与耦合电容相反，由于半导体极间电容的存在，对信号构成了低通电路，即对于频率足够低的信号相当于开路，对电路不产生影响；而当信号频率高到一定程度时，极间电容将分流，从而导致放大倍数数值减小且产生相移。为了便于理解有关频率响应的基本要领，这里对无源单级 RC 电路的频率响应加以分析。

1、高通电路

在图5.1.1(a)所示高通电路中，设输出电压 ${\dot{U}}_o$ 与输入电压 ${\dot{U}}_i$ 之比为 ${\dot{A}}_u$，则$${\dot{A}}_u=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_i}=\frac{R}{\frac{1}{j\omega C}+R}=\frac{1}{1+\frac{1}{j\omega RC}}(\mathrm{5.1.1})$$式中 $\omega$ 为输入信号的角频率，RC 为回路的时间常数 $\tau$，令 ${\omega }_L=\frac{1}{RC}=\frac{1}{\tau }$，则$$f_L=\frac{{\omega }_L}{2\pi }=\frac{1}{2\pi \tau }=\frac{1}{2\pi RC}(\mathrm{5.1.2})$$因此$${\dot{A}}_u=\frac{1}{1+\frac{{\omega }_L}{j\omega }}=\frac{1}{1+\frac{f_L}{jf}}=\frac{j\frac{f}{f_L}}{1+j\frac{f}{f_L}}(\mathrm{5.1.3})$$将 ${\dot{A}}_u$ 用其幅值与相角表示，得出$$\{\begin{array}{c}|{\dot{A}}_u|=\frac{\frac{f}{f_L}}{\sqrt{1+(\frac{f}{f_L}}{)}^2}(\mathrm{5.1.4}a)\\ \phi =90°-\arctan \frac{f}{f_L}(\mathrm{5.1.4}b)\end{array}$$因式(5.1.4a)表明 ${\dot{A}}_u$ 的幅值与频率的函数关系，故称之为 ${\dot{A}}_u$ 的幅频特性；因式5.1.4(b)表明 ${\dot{A}}_u$ 的相位与频率的函数关系，故称之为 ${\dot{A}}_u$ 的相频特性。
由式（5.1.4）可知，当 $f>>f_L$ 时，$|{\dot{A}}_u|\approx 1$，$\phi \approx 0°$；当 $f=f_L$ 时，$|{\dot{A}}_u|=1/\sqrt{2}\approx 0.707$，$\phi =45°$；当 $f<<f_L$ 时，$f/f_L<<1$，$|{\dot{A}}_u|\approx f/f_L$，表明 $f$ 每下降 10 倍，$|{\dot{A}}_u|$ 也下降 10 倍；当 $f$ 趋于零时，$|{\dot{A}}_u|$ 也趋于零，$\phi$ 趋于 $+90°$。由此可见，对于高通电路，频率愈低，衰减愈大，相移愈大；只有当信号频率远高于 $f_L$ 时，${\dot{U}}_o$ 才约为 ${\dot{U}}_i$。称 $f_L$ 为下限截止频率，简称下限频率，在该频率下，${\dot{A}}_u$ 的幅值下降到 70.7%，相移恰为 $+45°$。画出图5.1.1(a)所示电路的频率特性曲线如图(b)所示，上边为幅频特性曲线，下边为相频特性曲线。

2、低通电路

图5.1.2(a)所示为低通电路，输出电压 ${\dot{U}}_o$ 与输入电压 ${\dot{U}}_i$ 之比$${\dot{A}}_u=\frac{{\dot{U}}_o}{{\dot{U}}_i}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}(\mathrm{5.1.5})$$回路的时间常数 $\tau =RC$，令 ${\omega }_H=\frac{1}{\tau }$，则$$f_H=\frac{{\omega }_H}{2\pi }=\frac{1}{2\pi \tau }=\frac{1}{2\pi RC}(\mathrm{5.1.6})$$代入式（5.1.5）可得$${\dot{A}}_u=\frac{1}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_H}}=\frac{1}{1+j\frac{f}{f_H}}(\mathrm{5.1.7})$$将 ${\dot{A}}_u$ 用其幅值及相角表示，得出$$\{\begin{array}{c}|{\dot{A}}_u|=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{f}{f_H}}{)}^2}(\mathrm{5.1.8}a)\\ \phi =-\arctan \frac{f}{f_H}(\mathrm{5.1.8}b)\end{array}$$式（5.1.8a）是 ${\dot{A}}_u$ 的幅频特性，式（5.1.8b）是 ${\dot{A}}_u$ 的相频特性。从对式（5.1.8）的分析可得，当 $f<<f_H$ 时，$|{\dot{A}}_u|\approx 1$，$\phi \approx 0°$；当 $f=f_H$ 时，$|{\dot{A}}_u|=1/\sqrt{2}\approx 0.707$，$\phi =-45°$；当 $f>>f_H$ 时，$f/f_H>>1$，$|{\dot{A}}_u|\approx f_H/f$，表明 $f$ 每升高 10 倍，$|{\dot{A}}_u|$ 降低 10 倍；当 $f$ 趋于无穷时，$|{\dot{A}}_u|$ 趋于零，$\phi$ 趋于 $-90°$。由此可见，对于低通电路，频率愈高，衰减愈大，相移愈大；只有当频率远低于 $f_H$ 时，${\dot{U}}_o$ 才约为 ${\dot{U}}_i$。称 $f_H$ 为上限截止频率，简称上限频率，在该频率下，$|{\dot{A}}_u|$ 降到 70.7%，相移为 $-45°$。画出幅频特性曲线与相频特性曲线如图5.1.2(b)所示。
放大电路上限频率 $f_H$ 与下限频率 $f_L$ 之差就是其通频带 $f_{bw}$，即$$f_{bw}=f_H-f_L(\mathrm{5.1.9})$$

三、波特图

在研究放大电路的频率响应时，输入信号（即加在放大电路输入端的测试信号）的频率范围常常设置在几赫到上百兆赫，甚至更宽；而放大电路的放大倍数可从几倍到上百万倍；为了在同一坐标系中表示如此宽的变化范围，在画频率特性曲线时常采用对数坐标，称为波特图。
波特图由对数幅频特性和对数相频特性两部分组成，他们的横轴用对数刻度 $\lg f$，幅频特性的纵轴采用 $20\lg |{\dot{A}}_u|$ 表示，单位是分贝（dB）；相频特性的纵轴仍用 $\phi$ 表示。这样不但开阔了视野，而且将放大倍数的乘除运算转换成加减运算。
根据式（5.1.4a），高通电路的对数幅频特性为$$20\lg |{\dot{A}}_u|=20\lg \frac{f}{f_L}-20\lg \sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_L}\right)}^2}(\mathrm{5.1.10})$$与式（5.1.4b）联立可知，当 $f>>f_L$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|\approx 0\text{dB}$，$\phi \approx 0°$；当 $f=f_L$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|=-20\lg \sqrt{2}\approx -3\text{dB}$，$\phi =+45°$；当 $f<<f_L$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|\approx 20\lg \frac{f}{f_L}$，表明 $f$ 每下降 10 倍，增益下降 20 dB，即对数幅频特性在此区间可等效成斜率为 20 dB/十倍频的直线。
根据式（5.1.8a），低通电路的对数幅频特性为$$20\lg |{\dot{A}}_u|=-20\lg \sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_H}\right)}^2}(\mathrm{5.1.11})$$与式（5.1.8b）联立可知，当 $f<<f_H$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|\approx 0\text{dB}$，$\phi \approx 0°$；当 $f=f_H$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|=-20\lg \sqrt{2}\approx -3\text{dB}$，$\phi =-45°$；当 $f>>f_H$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|\approx -20\lg \frac{f}{f_H}$，表明 $f$ 每上升 10 倍，增益下降 20 dB，即对数幅频特性在此区间可等效成斜率为 -20 dB/十倍频的直线。
在电路的近似分析中，为简单起见，常将波特图的曲线折线化，称为近似的波特图。对于高通电路，在对数幅频特性中，以截止频率 $f_L$ 为拐点，由两段直线近似曲线。当 $f>f_L$ 时，$20\lg |{\dot{A}}_u|=0\text{dB}$ 的直线近似；当 $f<f_L$ 时，以斜率为 20 dB/十倍频的直线近似。在对数相频特性中，用三段直线取代曲线；以 $10f_L$ 和 $0.1f_L$ 为两个拐点，当 $f>10f_L$ 时，用 $\phi =0°$ 的直线近似，即认为 $f=10f_L$ 时 ${\dot{A}}_u$ 开始产生相移（误差为 -5.71°）；当 $f<0.1f_L$ 时，用 $\phi =+90°$ 的直线近似，即认为 $f=0.1f_L$ 时已产生 + 90° 的相移（误差为 5.71°）；当 $0.1f_L<f<10f_L$ 时，$\phi$ 随 $f$ 线性下降，因此当 $f=f_L$ 时，$\phi =+45°$。图5.1.1(a)所示高通电路的波特图如图5.1.3(a)所示。
用同样的方法，将低通电路的对数幅频特性以 $f_H$ 为拐点用两段直线近似，对数相频特性以 $0.1f_H$ 和 $10f_H$ 为拐点用三段直线近似，图5.1.2(a)所示低通电路的波特图如图5.1.3(b)所示。综上所述，得出以下结论：
（1）电路的截止频率决定于电容所在回路的时间常数 $\tau$，如图5.1.1(a)和图5.1.2(a)所示电路的 $f_L$ 和 $f_H$ 分别如式（5.1.2）、（5.1.6）所示。
（2）当信号频率等于下限截止频率 $f_L$ 或上限截止频率 $f_H$ 时，放大电路的增益下降 3 dB，且产生 +45° 或 -45° 相移。
（3）在近似分析中，可用折线化的近似波特图描述放大电路的频率特性。