【入门级-数学与其他：1.数及其运算：自然数、整数、有理数、实数及其算术运算(加、减、乘、除)】-优快云博客

1、自然数 (Natural Numbers)
符号: ℕ
定义: 从1开始的正整数。
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
注意: 在某些数学领域（如集合论），自然数包括0，即 {0, 1, 2, 3, …}。这是一个约定问题，但在初等数学中通常从1开始。
用途: 计数、排序。
局限性: 不能表示“没有”的概念，也不能表示部分（分数），也不能表示比零小的量。

2、整数 (Integers)
符号: ℤ (来自德语 Zahlen, 意为“数字”)
定义: 包括自然数、零和自然数的负数。
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
扩展原因: 为了解决自然数中减法运算不封闭的问题（例如，3 - 5 在自然数中无解）。
用途: 表示具有相反意义的量（如盈余与亏损、高于与低于海平面等）。

3、有理数 (Rational Numbers)
符号: ℚ (来自英语 Quotient, 意为“商”)
定义: 可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
ℚ = { p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, q ≠ 0 }
例如：1/2, -3/4, 5 (可以写为 5/1), 0.75 (可以写为 3/4), 0.333… (可以写为 1/3)。
扩展原因: 为了解决整数中除法运算不封闭的问题（例如，3 ÷ 2 在整数中无解）。
特点: 小数形式要么是有限小数，要么是无限循环小数。

4、实数 (Real Numbers)
符号: ℝ
定义: 所有有理数和无理数的集合。
无理数 (Irrational Numbers): 不能表示为两个整数之比的数。其小数部分是无限不循环的。
例如：√2, √5, π (圆周率), e (自然常数), φ (黄金比例)。
扩展原因: 为了解决有理数中某些运算（如开方）的问题。例如，x² = 2 这个方程在有理数范围内无解。
特点: 实数与数轴上的点是一一对应的。任何一个点都对应一个实数，任何一个实数都对应数轴上的一个点。

包含关系:
自然数 (ℕ) ⊂ 整数 (ℤ) ⊂ 有理数 (ℚ) ⊂ 实数 (ℝ)

5、算术运算(加、减、乘、除)
在信息学竞赛中，常用的运算符包括：+ (加)、- (减)、* (乘)、/ (除)、% (取模)。
需要特别注意的是/ (除法)的行为：
整数除以整数：结果为整数，直接舍去小数部分（向零方向取整）。
例如 7 / 2 = 3，-7 / 2 = -3。
浮点数（实数）的除法：结果为浮点数。
例如 7.0 / 2 = 3.5，7 / 2.0 = 3.5，7.0 / 2.0 = 3.5。

取模运算（求余数）
取模运算符 % 用于求两个整数相除后的余数。
规则：a % b 的结果是 a 除以 b 后的余数，且余数的符号与被除数 a 相同。
例如 7 % 3 = 1，-7 % 3 = -1（符号与-7 相同）。

需要注意事项：
1.整数溢出：这是最常见的错误！
例如，int 类型（通常范围约±21亿）在计算 2000000000 + 2000000000 时会溢出，得到错误结果。
对策：根据数据范围，果断使用 long long（范围约±9e18）。

2.浮点数精度误差：浮点数（float, double）在计算机中无法精确表示所有小数。避免用 == 直接比较浮点数，应使用 fabs(a - b) < 1e-9 判断是否“足够接近”。

3.运算优的先级：记不清时，常使用括号() 来明确意图，这能让代码更清晰且避免错误。

4.短路求值：在逻辑表达式中（如 &&, ||），如果前半部分已经能确定结果，后半部分将不会执行。可用于简化判断，例如 if (b != 0 && a % b == 0)。