42、工程数据分析中的线性回归：MATLAB实现与应用

工程数据分析中的线性回归：MATLAB实现与应用

1. 多元线性回归的矩阵方法

在工程数据分析中，常常需要研究多个自变量对因变量的影响。例如，在评估力（gm）、功率（mW）、温度（°C）和时间（msec）对球键剪切强度（gm）的影响时，就涉及到多个预测变量。当自变量数量较多（p > 2）时，使用矩阵代数来计算回归系数更为高效。

以下是一个具体的示例数据：
| 力（Force） | 功率（Power） | 温度（Temperature） | 时间（Time） | 强度（Strength） |
| — | — | — | — | — |
| 30 | 60 | 175 | 15 | 26.2 |
| 40 | 60 | 175 | 15 | 26.3 |
| 30 | 90 | 175 | 15 | 39.8 |
|… |… |… |… |… |

设 (x_1) 为力，(x_2) 为功率，(x_3) 为温度，(x_4) 为时间，(y) 为强度。多元线性回归模型可以表示为：
(y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_3 + \beta_4x_4)

为了方便分析，将模型表示为矩阵形式：
(y = X\beta)
其中，(y) 是因变量向量，(X) 是自变量矩阵，(\beta) 是回归系数向量。

通过矩阵运算，我们可以得到回归系数的估计值：
(\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty)

以下是具体的计算过程：