42、密码学中的参数化拆分系统与无证书加密方案

密码学中的参数化拆分系统与无证书加密方案

1. 参数化拆分系统在离散对数问题中的应用

在处理离散对数问题（DLP）时，参数化拆分系统展现出了独特的优势。在应用某些私钥到特定算法之前，当选择合适的参数 (t_s) 以保证最有效的时间复杂度时，预计算的成本可以忽略不计。

通过对比不同方法恢复私钥的复杂度，我们能更清晰地看到参数化拆分系统的优势。以下是不同文献中私钥恢复复杂度的对比表格：
| 私钥来源 | 方法 | 指数运算次数 | 存储量 |
| — | — | — | — |
| [7] | [7] | 252 | 233 |
| [7] | 我们的（算法 3），(t_s = 7) | 247.7 | 244.5 |
| [7] | 我们的（算法 4），(t_s = 7) | 243.5 | 241 |
| [4] | [4] | 278 | 243.9 |
| [4] | 我们的（算法 3），(t_s = 9) | 265.5 | 263.1 |
| [4] | 我们的（算法 4），(t_s = 9) | 261.6 | 259.2 |

从表格中可以看出，参数化拆分系统及其随机化版本能显著降低离散对数问题的复杂度。

对于 Hoffstein 和 Silverman 提出的指数 (x = x_1x_2x_3 \in Z_{2^{1000}-1})，当 (wt(x_1) = 2)，(wt(x_2) = 2) 和 (wt(x_3) = 11) 时，我们可以通过一系列操作来求解 (x)。具体步骤如下：
1. 令 (y = g^x)，其中 (x = x_1x_2x_3)，且 (x_i