36、固定数量箱子的装箱问题再探讨

固定数量箱子的装箱问题再探讨

1. 装箱算法概述

当最优装箱方案所需箱子数 OPT (I) = K 时，装箱算法步骤如下：
1. 设置 x = 4，y = 2，将物品集合 I 划分为三个组：Ilarge（大物品组）、Imedium（中等物品组）和 Ismall（小物品组）。
2. 考虑所有可行的预分配方案，将大物品分配到 K 个箱子中。
3. 对中等物品的尺寸进行几何舍入。对于每个区间 (2−(r+1), 2−r]，对物品集 Ir 应用线性分组，组大小为 ⌈2r / (x log(K))⌉，并计算舍入后的物品集 Jr 和 J′r。
4. 对于每个预分配方案，使用动态规划将 Jr 中的中等物品分配到箱子 b1, …, bK 中，并将 J′r 放入箱子 bK + 1。
5. 对于某个预分配方案，得到一个可行的 K + 1 个箱子的装箱方案（由于 OPT (I) = K，必然存在这样的方案），将舍入后的物品替换为其原始尺寸，然后使用贪心算法将小物品分配到箱子 b1, …, bK + 1 中。

2. 装箱问题的参数化难度

目标是证明一元装箱问题（Unary Bin Packing）在以箱子数量 k 为参数时是 W[1]-难的。在这个版本的装箱问题中，给定一组用一元编码的整数物品尺寸，以及两个整数 b 和 k，任务是判断这些物品是否能装入 k 个容量为 b 的箱子中。

为了证明该问题的 W[1]-难，引入了一个中间问题，即涉及固定长度 c 的向量和不同尺寸箱子的一元向量装箱问题（Unary Vector Bin Packing）。

对于固定的 c，定义 c - 一元向量装箱问题如下：给定一组 n