59、调度与装箱问题算法运行时间的边界分析

调度与装箱问题算法运行时间的边界分析

在解决调度和装箱问题时，算法的运行时间是一个重要的考量因素。本文围绕指数时间假设（ETH），深入探讨了调度和装箱问题算法运行时间的下界，并提出了能够解决广泛问题的算法框架。

1. 指数时间假设（ETH）概述

通常认为 $P \neq NP$，这使得许多决策和优化问题无法存在多项式时间算法。近年来，超多项式精确算法的研究受到更多关注，但在 $P \neq NP$ 假设下，我们难以确定这些问题可能的超多项式运行时间。

Impagliazzo 和 Paturi 提出了指数时间假设（ETH），其核心围绕可满足性问题 3 - Sat。ETH 假设存在正实数 $\delta$，使得 3 - Sat 问题无法在 $2^{\delta n} \times | \phi |^{O(1)}$ 时间内解决，其中 $n$ 是变量的数量，$| \phi |$ 是实例的长度。另一种表述是，带参数 $n$ 的 3 - Sat 问题不存在亚指数算法。

ETH 可通过强归约（参数最多线性增长的归约）来证明其他问题算法运行时间的下界。此外，Impagliazzo、Paturi 和 Zane 的稀疏化引理表明，在 ETH 假设下，不存在能在 $2^{o(m)} \times | \phi |^{O(1)}$ 时间内判定含 $m$ 个子句的 3 - Sat 问题的算法，这使得我们可以用子句数量作为参数。

2. 子集和问题家族

2.1 子集和与划分问题的下界

Wegener 给出了从 3 - Sat 到划分问题（Partition）经过子集和问题（SubsetSum）的一系列归约。
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