13、重新优化、装箱问题与偏序比较的研究

重新优化、装箱问题与偏序比较的研究

1. 重新优化与装箱问题

1.1 装箱问题定义

给定一个常量 $B$，一个包含 $n$ 个物品的列表 $L = (1, 2, \cdots, n)$，对于任意 $i = 1, \cdots, n$，物品 $i$ 的大小 $a_i \leq B$，以及 $n$ 个容量均为 $B$ 的箱子。装箱问题的目标是将列表 $L$ 中的物品放入箱子中，使得每个箱子内物品大小之和不超过箱子的容量 $B$，并且使用的箱子数量最少。

1.2 问题不可近似性证明思路

在重新优化的背景下，证明该问题在近似比为 $\frac{3}{2} - \epsilon$（对于任意 $\epsilon > 0$）的情况下是不可近似的。具体步骤如下：
1. 考虑一个划分问题的实例 $I$，其中有 $n + 1$ 个物品 $0, 1, \cdots, n$，其大小分别为 $a_0, a_1, \cdots, a_n$，满足 $a_i < B$ 且 $\sum_{i = 0}^{n} a_i = 2B$，目标是将这些物品划分为两个子集，使得每个子集内物品大小之和等于 $B$。划分问题是 NP 完全问题。
2. 假设物品按大小降序排列，即 $a_0 \geq a_1 \geq \cdots \geq a_n$，并将物品列表 $L = (a_1, \cdots, a_n)$ 作为装箱问题的实例。由于 $a_0 < B$ 且 $\sum_{i = 0}^{n} a_i = 2B$，所以 $\sum_{i = 1}^{n} a_i > B$，因此 $L$ 的最优装箱解使用的箱子数大于 1。
3. 证明 $L$ 存在