15、离散傅里叶变换问题解析与实践

离散傅里叶变换问题解析与实践

1. 离散傅里叶级数（DFS）系数计算

在离散信号处理中，计算周期性序列的 DFS 系数是基础操作。我们需要根据 DFS 定义来计算以下周期性序列的 DFS 系数，并使用 MATLAB 进行验证。
- 对于序列 ˜x1(n) = {4, 1, -1, 1}，周期 N = 4。
- 序列 ˜x2(n) = {2, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0}，周期 N = 8。
- 序列 ˜x3(n) = {1, 0, -1, -1, 0}，周期 N = 5。
- 序列 ˜x4(n) = {0, 0, 2j, 0, 2j, 0}，周期 N = 6。
- 序列 ˜x5(n) = {3, 2, 1}，周期 N = 3。

操作步骤如下：
1. 根据 DFS 定义公式 ( \tilde{X}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} ) 计算每个序列的 DFS 系数。
2. 在 MATLAB 中使用相关函数（如 fft ）进行验证。

2. 根据 DFS 系数确定周期性序列

已知周期性 DFS 系数，我们要先使用逆离散傅里叶级数（IDFS）定义来确定周期性序列，再用 MATLAB 验证。
- 对于 ˜X1(k) = {4, 3j, -3j}，周期 N = 3。
- ˜X2(k) = {j, 2j, 3j, 4j}，周期 N = 4。
- ˜X3(k) = {1, 2 + 3j, 4, 2 - 3j}，周期 N = 4。
- ˜X4