16、傅里叶变换与离散傅里叶变换全解析

傅里叶变换与离散傅里叶变换全解析

1. 傅里叶变换基础

傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它能将非周期信号 $x(t)$ 转换为频域表示 $X(\omega)$。其定义为：
[
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt
]
而逆傅里叶变换则是将频域信号转换回时域信号，定义为：
[
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega
]

常见的傅里叶变换性质和变换对分别列于特定表格中。通过这些性质和变换对，我们可以更方便地进行信号的分析和处理。

傅里叶变换还有几个重要的频谱概念：
- 幅度谱：将 $|X(\omega)|$ 相对于 $\omega$ 绘制的图形。
- 能量谱：$|X(\omega)|^2$ 相对于 $\omega$ 的图形。
- 相位谱：$X(\omega)$ 的角度相对于 $\omega$ 的图形。

若系统的传递函数为 $H(\omega)$，则输出 $Y(\omega)$ 可由输入 $X(\omega)$ 通过 $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ 得到。

2. 帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理揭示了信号 $x(t)$ 与其傅里叶变换 $X(\omega)$ 之间的能量关系。在 $1\Omega$ 电阻上的能量为：
[
E = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(