15、傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换全解析

傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换全解析

1. 离散傅里叶变换与卷积

离散傅里叶变换（DFT）在信号处理中有着重要的应用，通过DFT可以将时域信号转换到频域进行处理。对于信号 $h[n]$ 和 $s[n]$，可以通过DFT将它们转换为 $H[k]$ 和 $S[k]$，然后逐点相乘得到 $Y[k] = H[k]S[k]$，最后使用逆DFT得到 $y[n] = DFT^{-1}{Y[k]}$ ，其卷积公式为：
$y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} h[k] s[n - k]$

若 $s[n]$ 是长度为 $M$ 的有限序列，要使DFT实现的循环卷积结果与期望的线性卷积对应，DFT的块长度 $N_{DFT}$ 需满足 $N_{DFT} > N + M$ ，并且要对 $h[n]$ 和 $s[n]$ 补零至长度为 $N_{DFT}$ 的块。

2. 实时滤波中的傅里叶块处理

在一些实际应用中，可能由于内存限制或信号为连续数据流，需要对信号进行分块处理。常用的分块算法有重叠保留法和重叠相加法。

2.1 重叠保留法

• 分块规则 ：选择 $N_{DFT} > N$ ，将信号 $s[n]$ 分割成长度为 $N_{DFT}$ 的块，相邻块重叠 $N - 1$ 个数据点，第 $k$ 个块表示为 $s_k[n] = s[n + k(N_{DFT} - N + 1)]$ ，其中 $n = 0, …, N_{DFT} - 1$ 。
• 滤波器处理 ：对滤波器 $h[n]$ 进行补零操作，得到 $h_