14、离散傅里叶变换及快速算法详解

离散傅里叶变换及快速算法详解

1. 离散傅里叶变换基础

在信号处理领域，有两个重要的概念：有限时长序列的能量谱和周期序列的功率谱。有限时长序列的能量谱定义为 $\frac{|X(k)|^2}{N}$，而周期序列的功率谱则是 $|\frac{\tilde{X}(k)}{N}|^2$。

线性卷积是线性系统中极为重要的操作，FIR 滤波器在实际应用中通常借助线性卷积来实现。离散傅里叶变换（DFT）是在频域实现线性系统操作的实用方法，且在计算方面具有一定效率。然而，DFT 操作会产生循环卷积，这并非我们期望的线性卷积。接下来，我们将探讨如何利用 DFT 实现线性卷积，也就是让循环卷积等同于线性卷积。

假设 $x_1(n)$ 是 $N_1$ 点序列，$x_2(n)$ 是 $N_2$ 点序列，它们的线性卷积 $x_3(n)$ 定义如下：
[
x_3(n) = x_1(n) * x_2(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1(k)x_2(n - k) = \sum_{k = 0}^{N_1 - 1} x_1(k)x_2(n - k)
]
$x_3(n)$ 是 $(N_1 + N_2 - 1)$ 点序列。若选择 $N = \max(N_1, N_2)$ 并计算 $N$ 点循环卷积 $x_1(n) \circledast_N x_2(n)$，得到的 $N$ 点序列与 $x_3(n)$ 不同。因此，我们可以选择 $N = N_1 + N_2 - 1$ 来进行 $(N_1 + N_2 - 1)$ 点循环卷积，这样至少两种卷积的样本数量相同。

设 $N = N_1 + N_2 - 1$，将 $x_1(n)$ 和 $