17、延迟与预期系统的数学分析及应用

延迟与预期系统的数学分析及应用

1. 延迟系统

延迟系统是指系统状态依赖于其过去状态的系统。其核心方程为：
[
\frac{dx(t)}{dt} = a \cdot x(t - \tau) - b \cdot x(t)
]
其中，(x(t)) 表示系统在当前时间 (t) 的状态，(\tau) 是延迟时间，(a) 和 (b) 是定义系统变化速率的参数。

1.1 数值模拟

可通过欧拉离散化方法进行数值模拟：
[
x(t + \Delta t) = x(t) + \Delta t \cdot [a \cdot x(t - n \cdot \Delta t) - b \cdot x(t)]
]
这里，(\Delta t) 是离散时间间隔，且 (n \cdot \Delta t = \tau)。

1.2 一阶延迟系统

当延迟时间 (\tau) 较小时，可进行一阶外推：
[
x(t|t - \tau) = x(t) - \tau \cdot \frac{dx(t)}{dt}
]
将其代入延迟方程，经数学变换可得：
[
\frac{dx(t)}{dt} = \frac{(a - b) \cdot x(t)}{1 + a \cdot \tau}
]
其解为：
[
x(t) = x(0) \cdot \exp(\frac{(a - b) \cdot t}{1 + a \cdot \tau})
]
当 (1 + a \cdot \tau > 0) 时