10、算法设计：贪心算法、TSP问题、PageRank与线性规划

算法设计：贪心算法、TSP问题、PageRank与线性规划

1. 贪心算法概述

贪心算法是一种快速且简单的策略，用于寻找多阶段问题的全局最优值。它基于选择局部最优值，而不验证这些局部最优值是否也是全局最优的。通常，除非运气好，否则贪心算法得到的值并非全局最优。不过，寻找全局最优值是一项耗时的任务，因此与分治法和动态规划算法相比，贪心算法速度更快。

贪心算法的一般定义如下：
1. 假设有一个数据集D，从中选择一个元素k。
2. 假设候选解或证书为S，考虑将k包含在解S中。如果可以包含，则解为Union(S, e)。
3. 重复此过程，直到S填满或D耗尽。

例如，分类与回归树（CART）算法就是一个贪心算法，它在顶层搜索最优分割，并在后续每层重复该过程。CART算法不会计算和检查该分割是否会在几层之后导致最低的杂质。CART使用贪心算法是因为找到最优树是一个NP完全问题，其算法复杂度为O(exp(m))时间。

2. 旅行商问题（TSP）

TSP是一个在20世纪30年代提出的著名问题，属于NP难问题。问题描述如下：
- 输入 ：一个包含n个城市的列表V，以及每对城市之间的距离d ij（1 ≤ i, j ≤ n）。
- 输出 ：访问每个城市恰好一次并返回初始城市的最短路径。

以下是加拿大五个城市之间的距离表：
| | 渥太华 | 蒙特利尔 | 金斯顿 | 多伦多 | 萨德伯里 |
| — | — | — | — | — | — |
| 渥太华 | - | 199 | 19