29、组合计数序列的周期性与值分布

组合计数序列的周期性与值分布

1. 关于合数模的周期性

在了解了序列关于素数模的周期性后，我们可以推导其关于合数模的周期性。以贝尔数为例，前面的研究表明，贝尔数模 2 是周期性的，周期长度为 3；模 5 也是周期性的，周期长度为 781。

1.1 中国剩余定理

当我们知道一个序列模 2 和模 5 的情况时，就可以借助中国剩余定理来了解它模 10（2×5）的情况。中国剩余定理指出，如果我们知道一个数 (a) 关于一些互素数 (n_1,n_2,\cdots,n_k) 的余数，那么就能知道 (a) 关于 (n_1n_2\cdots n_k) 的余数。用公式表示为：
[
\begin{cases}
a \equiv a_1 \pmod{n_1}\
a \equiv a_2 \pmod{n_2}\
\cdots\
a \equiv a_k \pmod{n_k}
\end{cases}
]
该同余方程组的解 (a) 在模 (n_1n_2\cdots n_k) 下是唯一确定的。

当 (k = 2) 时，我们先介绍贝祖引理：若 (d) 是整数 (n_1) 和 (n_2)（不同时为零）的最大公因数，则存在整数 (x) 和 (y) 使得 (d = n_1x + n_2y)。特别地，当 (n_1) 和 (n_2) 互素时，有 (n_1x + n_2y = 1)。

对于同余方程组 (\begin{cases}a \equiv a_1 \pmod{n_1}\a \equiv a_2 \pmod{n_2}\end{cases})，其解为 (a \equiv a_1n_2y + a_2n_1x \pmod{n_1n_2})，其中 (x) 和 (y) 满足 (n_1x + n_2y = 1)。

例如，若 (a \equiv 1 \pmod{2})，(a \equiv 2 \pmod{5})，取 (x = 3)，(y = -1)，满足 (2x + 5y = 6 - 5 = 1)，则 (a \equiv 1\times5\times(-1) + 2\times2\times3 \pmod{10})，即 (a \equiv 7 \pmod{10})。

下面是求解过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[已知同余方程组 a ≡ a1 (mod n1), a ≡ a2 (mod n2)] --> B[根据贝祖引理求 x, y 使 n1x + n2y = 1];
    B --> C[计算 a ≡ a1n2y + a2n1x (mod n1n2)];
    C --> D[得到解 a];

1.2 贝尔数模 10 的周期性

由于贝尔数模 2 的周期为 3，模 5 的周期为 781，它们的最小公倍数为 (3\times781 = 2343)。这意味着 (B_n) 和 (B_{n + 2343}) 模 2 和模 5 的余数相同，所以它们模 10 的余数也相同，即 (B_{n + 2343} \equiv B_n \pmod{10})。因此，贝尔数的最后一位数字构成一个周期为 2343 的周期序列。

对于更高的模，原理相同，但当 (k>2) 时，同余方程组的求解会更复杂。需要注意的是，从素数模的结果可以推导出这些素数乘积的模的结果，但对于有素数幂因子的模则不行。例如，要得到模 20（(2^2\times5)）的结果，我们需要知道贝尔数模 4（(2^2)）的情况。

2. 模 (p) 的值分布

我们可以提出这样的问题：一个线性递推序列模一个素数 (p) 可以取到哪些值？

以富比尼数为例，当 (p = 5) 时，序列 (F_n \pmod{5}) 为 (1, 1, 3, 3, 0, 1, 3, 3, 0, \cdots)，周期为 4，预周期为 1，2 和 4 不会出现；当 (p = 7) 时，避免出现的值是 4。

而对于贝尔数模 5，虽然周期为 781 较大，但到 (B_{17}) 时，就已经覆盖了模 5 的所有可能值：(1, 2, 0, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 4)，即 0, 1, 2, 3, 4 都出现了。实际上，(B_n \pmod{p}) 总是能取到 (0, 1, \cdots, p - 1) 这些值。

2.1 贝尔数模 (p) 的同余方程求解

我们将同余方程 (B_n \equiv \lambda \pmod{p}) 的求解分为 (\lambda = 0) 和 (\lambda \neq 0) 两种情况。

• (\lambda = 0) 的情况 ：我们不仅要证明 (B_n \equiv 0 \pmod{p}) 可解，还要证明序列 (B_n \pmod{p}) 包含 (p - 1) 个连续的 0，即 (B_{mp + k} \equiv 0 \pmod{p})（(k = 0, 1, \cdots, p - 2)），其中 (mp \equiv 1 - \frac{p^p - p}{(p - 1)^2} \pmod{\frac{p^p - 1}{p - 1}})。

  • 首先，根据相关结论 (B_{pn} \equiv \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} B_i \pmod{p})，可推出 (B_{pn} \equiv B_{n + 1} \pmod{p})（(n = 0, 1, 2, \cdots)）。
  • 然后证明辅助结论：设 (M) 为整数，(p) 为素数，则 (B_{M + k} \equiv 0 \pmod{p})（(k = 0, 1, \cdots, p - 2)）当且仅当 (B_{M + k} \equiv B_{M + pk} \pmod{p})（(k = 1, 2, \cdots, p - 1)）。
    • “若”部分：若 (B_{M + k} \equiv 0)（(k = 0, 1, \cdots, p - 2)），则 (B_{M + pk} \equiv 0)，所以 (B_{M + k} \equiv B_{M + pk})。当 (k = p - 1) 时，(B_{M + (p - 1)p} \equiv B_{M + p - 1} \pmod{p})。
    • “仅当”部分：若 (B_{M + k} \equiv B_{M + pk} \pmod{p})（(k = 1, 2, \cdots, p - 1)），通过一系列化简可得到一个系数矩阵为非奇异三角形的方程组，从而解得 (B_{M + i} \equiv 0 \pmod{p})（(k = 0, 1, \cdots, p - 2)）。

• (\lambda \neq 0) 的情况 ：同余方程 (B_n \equiv \lambda \pmod{p}) 总是可解的，且最小解 (n) 满足 (n \leq \binom{2p - 1}{p - 1})。

  • 定义序列 (W_n = (B_n - \lambda)^{p - 1} - 1)，可以看出 (B_n - \lambda \equiv 0) 可解当且仅当 (W_n \not\equiv 0)。(W_n) 是一个周期序列，通过多项式定理可得其表达式。由于相关多项式的性质，(W_n) 是一个非零的线性递推序列，所以存在 (n \leq \binom{2p - 1}{p - 1}) 使得 (W_n \neq 0)，即 (B_n \equiv \lambda \pmod{p}) 可解。

3. 练习

以下是一些相关的练习：
1. 设 (A_0 = A_1 = 1)，(A_{n + 2} = A_{n + 1} + A_n)（(n \geq 0)）是 (F_2) 中的线性递推序列（即斐波那契数模 2）。证明 (A_n) 可以表示为 (A_n = \alpha^{n + 1} + (1 + \alpha)^{n + 1})（(n \geq 0)），并证明 (A_{n + 3} = A_n) 对所有 (n \geq 0) 成立。
2. 基于相关练习，证明拉赫数的水平和 (L_n) 的周期为 (p - 1)，且无预周期。
3. 构造一个序列 (A_n)，使其模 (p) 不是周期序列。
4. 运行 Berlekamp - Massey 算法，求欧拉数模 (p = 5) 的最小多项式。
5. 设 (N_p = \frac{p^p - 1}{p - 1})，证明任意 (N_p) 个连续的贝尔数之和模 (p) 为 0。
6. 设 (W_n = (B_n - \lambda)^{p - 1} - 1)，当 (\lambda \neq 0) 时，证明 (B_n - \lambda \equiv 0) 可解当且仅当 (W_n \not\equiv 0)。

4. 展望

• 贝尔数模 (p) 的周期性 ：许多学者对贝尔数模 (p) 的周期性进行了研究。Hall 最早给出相关结果，表明贝尔数序列的周期为 (N_p = \frac{p^p - 1}{p - 1})，但不一定是最小周期。Williams 重新发现了该结果，并证明 (p = 2, 3, 5) 时最小周期就是 (N_p)。Levine 和 Dalton 证明 (p = 7, 11, 13, 17) 时也是如此。Radoux 猜想对于任意素数 (p)，(N_p) 是贝尔序列的最小周期，此后有许多学者对特定素数证明了该猜想。同时，也有关于 (B_n \pmod{p}) 周期的下界结果。这些研究还可以扩展到合数模的情况。
• r - 贝尔数模 (p) 的周期性 ：有研究对 r - 贝尔数模 (p) 的周期性进行了探讨。
• 贝尔数模 (p^k) 的周期性 ：Carlitz 证明了贝尔数模 (p^k) 的周期为 (p^k\frac{p^p - 1}{p - 1})。
• 线性递推序列的周期性 ：线性递推序列不一定是周期的，一个序列是线性递推序列当且仅当存在正整数 (n) 使得除了有限个 (r \geq 0) 外，(h_n^{(r)} = 0)，其中 (h_n^{(r)}) 是序列 (A_{n + r}) 的 (n\times n) 汉克尔行列式。

5. 帕斯卡三角形中值的分布

在帕斯卡三角形中，我们会思考每个数出现的次数。

5.1 林德构造

我们可以构造出在二项式系数中至少出现 6 次的数，这些数可以用斐波那契和卢卡斯序列来参数化。卢卡斯序列的定义与斐波那契序列类似，(L_n = L_{n - 1} + L_{n - 2})，但初始值为 (L_0 = 2)，(L_1 = 1)。

对于任意正偶数 (i)，设
[
\begin{cases}
n = \frac{F_iL_i + F_i^2}{2}\
k = \frac{F_iL_i - F_i^2}{2} - 1
\end{cases}
]
则 (\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k + 1})。由于帕斯卡三角形的对称性，这样的数会出现 6 次。

证明过程如下：将 (\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k + 1}) 展开，可得到 (n(k + 1) = (n - k)(n - k - 1))。令 (x = n - k - 1)，则方程变为 (n(n - x) = x(x + 1))，解这个二次方程得 (n = \frac{x + \sqrt{5x^2 + 4x}}{2})。为使 (n) 为整数，(5x^2 + 4x) 必须是完全平方数。利用斐波那契数的性质 (5F_i^2 + 4(-1)^i = (F_{i - 1} + F_{i + 1})^2)，当 (i) 为偶数时，(5F_i^2 + 4 = (F_{i - 1} + F_{i + 1})^2)，此时 (x = F_i^2) 满足条件。通过一些恒等式可以得到 (n) 和 (k) 的表达式。Tovey 还证明了只要 (\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k + 1}) 成立，(n) 和 (k) 必然是上述形式。

5.2 正整数出现的次数

• 有限次出现 ：因为帕斯卡三角形中每一行的二项式系数构成对数凹序列，最小元素是两端的 1，第二小的元素是与 1 相邻的 (n)。所以大于 1 的数 (a) 最多出现在第 (a) 行，即每个大于 1 的数在帕斯卡三角形中只能出现有限次。
• 出现次数的估计 ：设 (N(a)) 表示数 (a) 在帕斯卡三角形中出现的次数，已知 (N(1) = \infty)，(N(2) = 1)，且有无限多个 (a) 使得 (N(a) \in {2, 4})，也有无限多个 (a) 使得 (N(a) = 6)。我们可以得到 (N(a) \leq 2 + 2\log_2(a))。这是因为二项式系数序列 (\binom{i + j}{i}) 在 (i) 和 (j) 上都是单调递增的，中心二项式系数序列 (\binom{2b}{b}) 严格递增，存在最小的 (b) 使得 (\binom{2b}{b} > a)，根据单调性，对于所有非负的 (i) 和 (j)，有 (\binom{b + i + b + j}{b + i} \geq \binom{b + b + j}{b} \geq \binom{2b}{b} > a)。

以下是相关结论的总结表格：
| 内容 | 结论 |
| ---- | ---- |
| 贝尔数模 10 的周期 | 2343 |
| 贝尔数模 (p) 同余方程 (B_n \equiv \lambda \pmod{p}) 解的情况 | (\lambda = 0) 时，存在 (p - 1) 个连续 0；(\lambda \neq 0) 时，可解且 (n \leq \binom{2p - 1}{p - 1}) |
| 帕斯卡三角形中数 (a) 出现次数 (N(a)) | (N(1) = \infty)，(N(2) = 1)，有无限多个 (a) 使 (N(a) \in {2, 4, 6})，且 (N(a) \leq 2 + 2\log_2(a)) |

组合计数序列的周期性与值分布

6. 周期性与值分布的深入探讨

在前面的内容中，我们已经了解了组合计数序列在不同模下的周期性和值分布情况。下面我们进一步深入探讨这些性质之间的联系以及一些相关的拓展。

6.1 周期性与值分布的关联

周期性和值分布是组合计数序列的两个重要性质，它们之间存在着一定的关联。以贝尔数为例，其模 (p) 的周期性决定了在一个周期内能够覆盖的值的范围。当周期足够大时，就有可能覆盖模 (p) 的所有可能值。例如，贝尔数模 5 的周期为 781，在这个周期内，到 (B_{17}) 就已经覆盖了模 5 的所有值 0, 1, 2, 3, 4。

这种关联可以通过以下方式理解：周期性使得序列在一定间隔后重复出现，而值分布则描述了序列在一个周期内能够取到的值。如果周期较短，可能无法覆盖所有可能的值；而当周期足够长时，就有更大的机会覆盖所有值。

6.2 不同序列周期性的比较

不同的组合计数序列在模 (p) 下的周期性可能会有很大差异。例如，富比尼数模 5 的周期为 4，且存在一些值不会出现；而贝尔数模 5 的周期为 781，能够覆盖所有可能的值。

这种差异与序列的定义和递推关系密切相关。富比尼数和贝尔数的递推公式不同，导致它们在模 (p) 下的行为也不同。富比尼数的递推关系使得其在模 5 下的周期较短，并且某些值无法出现；而贝尔数的递推关系使得其在模 5 下有更大的可能性覆盖所有值。

以下是不同序列模 5 的周期性和值分布的比较表格：
| 序列 | 模 5 周期 | 未出现的值 |
| ---- | ---- | ---- |
| 富比尼数 | 4 | 2, 4 |
| 贝尔数 | 781 | 无 |

7. 周期性与值分布的应用

周期性和值分布的研究在许多领域都有应用，下面我们介绍一些常见的应用场景。

7.1 密码学中的应用

在密码学中，周期性和值分布的性质可以用于设计加密算法。例如，利用组合计数序列的周期性可以生成伪随机序列，这些序列可以作为加密密钥的一部分。通过控制序列的周期和值分布，可以增加加密算法的安全性。

具体操作步骤如下：
1. 选择一个合适的组合计数序列，如贝尔数或富比尼数。
2. 确定模 (p) 的值，使得序列在模 (p) 下具有合适的周期和值分布。
3. 根据序列的周期性生成伪随机序列。
4. 将伪随机序列作为加密密钥的一部分，用于加密信息。

7.2 计算机科学中的应用

在计算机科学中，周期性和值分布的性质可以用于优化算法和数据结构。例如，在哈希函数的设计中，可以利用组合计数序列的周期性和值分布来减少哈希冲突的发生。

具体操作步骤如下：
1. 选择一个组合计数序列作为哈希函数的基础。
2. 根据序列的周期性和值分布，设计哈希函数的参数。
3. 使用哈希函数对数据进行哈希处理，将数据映射到哈希表中。
4. 通过调整哈希函数的参数，优化哈希表的性能，减少哈希冲突的发生。

8. 总结与展望

通过对组合计数序列的周期性和值分布的研究，我们了解了序列在不同模下的行为，以及周期性和值分布之间的关联。这些研究不仅有助于我们深入理解组合计数序列的性质，还在密码学、计算机科学等领域有重要的应用。

未来的研究可以从以下几个方面展开：
1. 进一步研究组合计数序列在更高模下的周期性和值分布，探索更复杂的性质和规律。
2. 寻找更多利用周期性和值分布性质的应用场景，拓展其在不同领域的应用。
3. 研究如何通过调整序列的定义和递推关系，控制其周期性和值分布，以满足特定的需求。

以下是研究方向的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[研究更高模下的性质] --> B[探索复杂规律];
    C[寻找新的应用场景] --> D[拓展应用领域];
    E[控制周期性和值分布] --> F[满足特定需求];

总之，组合计数序列的周期性和值分布是一个充满挑战和机遇的研究领域，未来的研究有望取得更多有价值的成果。