55、常微分方程边值问题的求解方法

常微分方程边值问题的求解方法

1. 引言与背景

1.1 初始值问题与边值问题的区别

在求解自由落体蹦极者的速度时，我们通常会对单个常微分方程（ODE）进行积分：
[
\frac{d\upsilon}{dt} = g - \frac{cd}{m}\upsilon^2
]

若要确定蹦极者的位置随时间的变化，可利用速度是距离的一阶导数这一关系：
[
\frac{dx}{dt} = \upsilon
]

通过求解由上述两个方程组成的ODE系统，我们能同时得到速度和位置。但由于要对两个ODE进行积分，就需要两个条件来获得解。

若已知初始时刻的位置和速度值，即：
[
x(t = 0) = x_i
]
[
\upsilon(t = 0) = \upsilon_i
]

那么可以使用数值技术轻松地对ODE进行积分，这被称为初始值问题。

然而，如果在(t = 0)时，我们不知道位置和速度的具体值，仅知道初始位置，并且希望蹦极者在稍后的某个时间处于指定位置，即：
[
x(t = 0) = x_i
]
[
x(t = t_f) = x_f
]

由于这两个条件是在自变量的不同值处给出的，所以这被称为边值问题。这类问题需要特殊的求解技术，下面将介绍一些常见的方法。

1.2 工程与科学中的边值问题

边值问题在空间积分中更为常见，因为辅助条件通常在空间的不同位置指定。例如，模拟一根长而细的