48、数值微分：原理、MATLAB实现与实际应用

数值微分：原理、MATLAB实现与实际应用

1. 偏导数的计算

1.1 一阶偏导数

对于二维函数 ( f(x, y) )，若数据等间距，其一阶偏导数可以用中心差分近似计算。具体公式如下：
- ( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x - \Delta x, y)}{2\Delta x} )
- ( \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y - \Delta y)}{2\Delta y} )

1.2 混合偏导数

对于高阶导数，若对函数关于两个或更多不同变量求导，结果称为混合偏导数。以 ( f(x, y) ) 为例，关于 ( x ) 和 ( y ) 的混合偏导数 ( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ) 的推导过程如下：
1. 首先对 ( y ) 方向的偏导数在 ( x ) 方向上取差分：
( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x + \Delta x, y) - \frac{\partial f}{\partial y}(x - \Delta x, y)}{2\Delta x} )
2. 然后用有限差分计算 ( y ) 方向的偏导数：
( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\f