47、数值微分方法全解析

数值微分方法全解析

1. 改进估计与Richardson外推

在数值微分中，我们可以通过应用特定公式来得到改进的估计值。例如，通过公式计算得出$D = \frac{4}{3} (−0.934375) - \frac{1}{3} (−1) = -0.9125$，在当前情况下这个结果是精确的。这是因为被分析的函数是一个四阶多项式，Richardson外推实际上等同于通过数据拟合一个高阶多项式，然后用中心差分来计算导数，所以能精确匹配四阶多项式的导数。但对于大多数其他函数，导数估计值会得到改进，但并非精确值。我们可以使用龙贝格算法迭代应用该方法，直到结果低于可接受的误差标准。

2. 切线微分法

切线微分法是数值微分的一种重要方法。割线与函数至少相交于两个不同的点，而莱布尼茨将切线定义为通过平面曲线上给定函数点的一对无限接近的点的直线。基于这些概念，数值微分的最简单方法是使用一阶导数的标准定义：
- 当$h$趋近于0时，$f’(x_i) \equiv \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$。
- 当$h$是一个小的正数时，$f’(x_i) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$，这就是牛顿差商（也称为一阶前向差分）。

此外，还可以计算后向差分和更高精度的中心差分：
- 中心差分公式为$f’(x_i) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$。
- 在修改的割线法中，将$h$表示为$\delta x$，前向差分可表示为$f’(x_i) \approx \frac{f(x_i + \delta x_i) - f(x_i