44、数值积分方法：龙贝格积分与高斯求积法

数值积分方法：龙贝格积分与高斯求积法

1. 引言

在数值计算领域，积分的数值求解是一个重要的问题。本文将介绍两种高效的数值积分方法：龙贝格积分（Romberg Integration）和高斯求积法（Gauss Quadrature）。这两种方法在提高积分计算精度和效率方面具有显著优势。

2. 龙贝格积分

2.1 理查森外推法（Richardson Extrapolation）

理查森外推法是龙贝格积分的核心技术之一，它利用两个积分估计值来计算一个更精确的近似值。

复合梯形法则的积分估计和误差可以表示为：
[I = I (h) + E(h)]
其中，(I) 是积分的精确值，(I(h)) 是使用步长 (h = (b - a)/n) 的 (n) 段复合梯形法则的近似值，(E(h)) 是截断误差。

假设使用步长 (h_1) 和 (h_2) 进行两次独立估计，且误差精确已知，则有：
[I(h_1) + E(h_1) = I(h_2) + E(h_2)]

复合梯形法则的误差可以近似表示为：
[E \approx -\frac{b - a}{12} h^2 \overline{f}’‘]

如果假设 (\overline{f}’‘) 与步长无关，则两个误差的比值为：
[\frac{E(h_1)}{E(h_2)} \approx \frac{h_1^2}{h_2^2}]

通过一系列数学推导，可以得到截断误差的估计值：
[E(h_2) = \frac{I(h_1) - I(h_2)}{1 - (h_1/h_2)^2