34、回归分析与傅里叶分析：原理、应用与实践

回归分析与傅里叶分析：原理、应用与实践

1. 回归分析问题概述

回归分析是一种强大的统计工具，可用于建立变量之间的关系模型。以下是一系列回归分析问题及相应的解决思路。

1.1 多项式回归问题

• 拟合抛物线 ：对给定数据拟合抛物线，需确定拟合的 $r^2$ 值，以评估拟合效果。$r^2$ 越接近 1，说明拟合效果越好。
• 二阶多项式无截距拟合 ：对于模型 $y = a_1x + a_2x^2 + e$，推导其最小二乘拟合系数，可参考推导 $Eqs. (14.15)$ 和 $Eqs. (14.16)$ 的方法。
• 拟合三次多项式 ：对特定数据拟合三次多项式，同时计算 $r^2$ 和 $s_{y/x}$。$r^2$ 衡量拟合优度，$s_{y/x}$ 表示估计的标准误差。
• 开发 M - 文件实现多项式回归 ：编写 M - 文件，传入 $x$ 和 $y$ 值以及期望的多项式阶数 $m$，通过解决具体问题进行测试。

1.2 多元线性回归问题

• 预测溶解氧浓度 ：根据给定数据，使用多项式回归推导溶解氧浓度与温度的预测方程（氯化物浓度为 0 时），并使用多元线性回归推导溶解氧浓度与温度和氯化物的预测方程，进而估计特定条件下的溶解氧浓度，并计算相对误差。
• 拟合其他模型 ：对不同的实验数据，如水流数据