28、特征值与特征向量：从基础到应用

特征值与特征向量：从基础到应用

1. 问题引入

在之前的研究中，我们利用牛顿第二定律和力平衡来预测由绳索连接的三个蹦极者的平衡位置，这属于静力学问题。现在，我们将视角转向动力学问题，研究蹦极者的运动随时间的变化。

为了研究这一问题，我们需要规定蹦极者的初始条件，即初始位置和速度。例如，我们可以将蹦极者的初始位置设定为之前计算出的平衡值。若将他们的初始速度都设为零，系统将处于平衡状态，不会发生运动。

为了使系统产生运动，我们设定了一些极端的初始条件：将上层和下层蹦极者的初始速度分别设为向下 200 m/s 和向上 100 m/s，中层蹦极者的初始速度设为零。然后使用 MATLAB 求解微分方程，得到蹦极者的位置和速度随时间的变化。结果显示，蹦极者会剧烈振荡，由于没有摩擦力（如空气阻力或弹簧阻尼），他们会在平衡位置附近持续上下晃动，这种运动看起来近乎混乱。不过，仔细观察单个轨迹，我们可能会发现振荡存在一定模式，例如波峰和波谷之间的距离可能是恒定的，但从时间序列上看，很难判断是否存在系统性和可预测的规律。

为了从这种看似混乱的行为中提取出基本信息，我们需要确定系统的特征值（eigenvalues）或特征值（characteristic values）。接下来，我们将从数学角度详细解释特征值的含义。

2. 特征值与特征向量的基础知识

特征值和特征向量是用于描述方阵的量，在众多科学和工程应用中，特别是涉及微分方程的领域，具有重要意义。

2.1 线性代数系统的分类

之前我们处理过一般形式的线性代数方程组：
[
[A]{x} = {b} \quad (13.1)