17、癫痫发作期间图模型演变：线性模型方法

癫痫发作期间图模型演变：线性模型方法

1. 理论基础

1.1 部分有向相干性（PDC）

部分有向相干性是格兰杰因果关系在频域的一种方法，它基于多元自回归模型，旨在研究时间序列之间的直接联系。
- 时间序列矩阵最初可表示为：
[X(t) = \sum_{r = 1}^{p} A_{r}(r)X(t - r) + E(t)]
其中，(p) 是自回归方程的阶数，(A_{r}(r)) 是系数矩阵（包含 (a_{ij}) 项），(E(t)) 是每个时间序列的噪声矩阵。(a_{ij}) 元素描述了 (x_{j}(n - r)) 对 (x_{i}(t)) 的影响。
- 由于 PDC 在频域进行，需应用离散时间傅里叶变换（DTFT）将系数矩阵 (A_{r}(r)) 转换为 (A_{r}(f))：
[A_{r}(f) = \sum_{r = 1}^{p} A_{r}e^{-ir2\pi f}]
这里 (p) 仍是自回归模型的阶数，(i) 是虚数单位（(i = \sqrt{-1})）。
- 表示 (x_{j}(n - r)) 对 (x_{i}(t)) 影响的 PDC 方程为：
[PDC = \pi_{ij}(f) = \frac{A_{ij}’(f)}{\sqrt{a_{j}’^{H}(f)a_{j}’(f)}}]
其中，(H) 表示厄米特矩阵，(a_{j}) 是矩阵 (A’) 的第 (j) 项，(A’(f) = I - A(f))，(I) 是单位矩阵。

1.2 用于假设检验的替代数据

在使用 PDC 方法研究大脑区域之间的连接性时，连接阈值是一个需要解决的问题，统计方法可能会有所帮