整数的性质及其应用

整数的性质及其应用（1）

<script type="text/javascript"> showElementsTop(0); </script>

基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 　　定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若且，则(传递性质)； (2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中； (3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则； (5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则； (6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形； 易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。 若是正整数，则； 若是正奇数，则；（在上式中用代） (7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数； (8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数； (9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除； 2．奇数、偶数有如下性质： (1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数； （2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式； （3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 　　3．完全平方数及其性质 能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9； （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1； （3）奇数平方的十位数字是偶数； （4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； （6）平方数的约数的个数为奇数； （7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 （8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。 4．整数的尾数及其性质　 整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质： （1）；（2）＝； （3）；（4）；； （5）若，则；（6）； （7）； （8） 5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论） 　　（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； 　　（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； 　　（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； 　　（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； 　　（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。 6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。 2．有关质（素）数的一些性质 　　（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则； 　　（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）＝1； 　　（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）； 　　（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）； 　　（5）任何大于1的整数能唯一地写成　　①　　　　　的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式； 　　（6）若的标准分解式为①，的正因数的个数记为，则。 典例分析 　　例1．证明：被1001整除。 　　证明： 　　所以整除。 　　例2．对正整数，记为的十进制表示中数码之和。证明：的充要条件是。 　　证明：设（这里，且），则，于是有　　　　　　① 　　对于，知，故①式右端个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即。由此可易推出结论的两个方面。 　　例3．设是一个奇数，证明L对于任意正整数，数不能被整除。 　　证明：时，结论显然成立。设，记所说的和为A，则： 　　。 　　由k是正奇数，从而结于每一个，数被整除，故被除得余数为2，从而A不可能被整除（注意）。 　　例4．设是正整数，，证明：（）（）。 　　证明：首先，当时，易知结论成立。事实上，时，结论平凡；当时，结果可由推出来（注意）。 　　最后，的情形可化为上述特殊情形：由带余除法而，由于，从而由若是正整数，则知；而，故由上面证明了的结论知（注意时结论平凡），从而当时，也有（）（）。这就证明了本题的结论。 　　例5．设正整数满足，证明：不是质（素）数。 　　证法一：由，可设其中。由意味着有理数的分子、分母约去了某个正整数后得既约分数，因此，　　　　　　　　① 　　同理，存在正整数使得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　因此，＝是两个大于1的整数之积，从而不是素数。 　　注：若正整数适合，则可分解为①及②的形式，这一结果在某些问题的解决中很有作用。 　　证法二：由，得，因此，因为是整数，故也是整数。 　　若它是一个素数，设为，则由　　　　　　　　　　　　　　③　　　　 　　可见整除，从而素数整除或。不妨设｜，则，结合③推出，而这是不可能的（因为）。 　　例6．求出有序整数对（）的个数，其中，，是完全平方数。　　　　（1999年美国数学邀请赛试题） 解：由于，可得： ＜。 又，于是 若是完全平方数，则必有＝。 然而＝，于是必有，即，此时，。所以所求的有序整数对（）共有98对： 。 例7．证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。　　　　　　　　（2006年山东省第二届夏令营试题） 　　证法一：已知关系式即为 　　（）（）＝　　　　　　　　　　　① 　　若（或者说中有一个为0时），结论显然。 　　不妨设且，令，则， 　　从而＝，将其代入①得　　② 　　因为，所以，从而； 　　而②式又可写成； 　　因为且，所以 　　所以，从而。 　　所以，所以＝，从而为完全平方数。 　　所以也是完全平方数。 　　证法二：已知关系式即为 　　（）（）＝　　　　　　　　　　　① 　　论证的关键是证明正整数与互素。 　　记（，）。若，则有素因子，从而由①知。因为是素数，故，结合知，从而由得1，这是不可能的。故，从而由①推知正整数与都是完全平方数。 　　例8．证明不存在正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数。 　　证明：假设存在这样的正整数，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方数，那么 　　（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）也必定是完全平方数。 　　而（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）＝36n6+36n4+11n2+1； 　　36n6+36n4+9n2；36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1； 　　所以（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）＜与（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）为完全平方数矛盾。 　　例9．数列的通项公式为，． 　　记，求所有的正整数，使得能被8整除．（2005年上海竞赛试题） 　　解：记 　　 　　注意到　　，可得 　　　　　　 　　　因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定 　　　，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而 　　故当且仅当 　　练习题 　　1．证明：如果和都是大于3的素数，则6是的因子。 　　证明：因为是奇数，所以2是的因子。又因为，，除以3的余数各不相同，而与都不能被3整数。于是6是的因子。 　　2．设，证明：； 　　解：由，故｜（）。 　　又因为，从而｜，于是由整除的性质知 　　。 　　3．证明：对于任意正整数，数　不能被整除。 　　证明：只需证2（）2（）即可。 　　因为若是正整数，则； 　　若是正奇数，则； 　　故｜；｜，……， ｜ 　　所以｜2（）。 　　又因为，所以　2，所以　2（）＋2 　　即（）2（）命题得证。 　　4．已知为正奇数，求证：。 　　证明：因为若是正整数，则； 若是正奇数，则； 　　所以，，从而； 　　　　，，从而； 　　　　，，从而； 又且，所以。 　　5．设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.（1989年上海竞赛试题） 　　解  ∵（ab-1）（bc-1）（ca-1） 　　=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，① 　　∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）. 　　∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc,     ② 　　k=＜＜＜＜　　∴k=1. 　　若a≥3，此时1=-＜矛盾. 　　已知a＞1.   ∴只有a=2. 　　当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即   1=＜ 　　∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5. 　　说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.