同余(数论基础)

同余

同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。 基础知识 三个数论函数 对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。 1．  高斯(Gauss)取整函数[] 设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为[]；称为的小数部分，记为｛｝。例如：［0.5］＝0，等等。 由的定义可得如下性质： 性质1.； 性质2.； 性质3.设，则； 性质4.;; 性质5.　； 性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立： 　　　； 为了描述性质7，我们给出如下记号：若，且　，则称为恰好整除，记为。例如：我们有等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。我们还可以得到：。 性质7.若，则 　　　请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而且对于时，都有。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。 2．除数函数d(n) 正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式： d(n)＝，为素数唯一分解定理中的指数。为了叙述地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。 算术基本定理（素数唯一分解定理）：任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积，若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。 例如：。当一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。例如在上面的分解式中，2出现了三次。把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就可以把大于1的正整数写成　　　（1） 此式称为的标准分解式。这样，算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的（不考虑乘积的先后顺序）。 　　推论1.若的标准分解式是（1）式，则是的正因数的充要条件是： 　　　　（2） 应说明（2）不能称为是的标准分解式，，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某个素因数，因而） 推论2.设，且，若