13、心智的数学概念与哲学思考

心智的数学概念与哲学思考

1. 计算能力：图灵与物理学的较量

1900 年，希尔伯特提出了 23 个基础数学问题，旨在完成数学的公理化，并永远确定数学程序的规则。其中第十个问题“判定问题”，是询问是否原则上存在一种通用的数学程序来解决任何数学问题（在一个确定但足够广泛的领域内）。图灵给出了答案，他证明了通用数学程序并不存在。

在寻找证明的过程中，图灵提出了算法可计算性的概念，即一个数学问题的解可以在有限（事先未知）的步骤内计算出来。一个步骤是几个简单的预定操作之一，例如加法，或者根据前一个操作的结果选择下一个操作（如计算机语言语句）。

然而，当分析与 MHT 类型程序相关的具体算法时，图灵的算法可计算性表述就显得不足了。MHT 类型的程序虽然是有限的，但可能需要大量的步骤，这在物理上是不可行的。考虑到算法的计算复杂性，物理算法可计算性可以表述为随着问题复杂性的增加，步骤或操作数量增长的速度限制。

为了定义物理可计算性的概念，我们引入一个或一组参数 D 来表征问题的复杂性，D 可能包括分类空间的维度、类别数量、测量次数等。如果所需操作的数量 N > Dⁿ（对于任何 n，非多项式复杂度，如 exp(D)），则该算法属于物理不可计算类型。如果所需操作的数量 N < D·常数（对于某个有限的常数），则该算法是物理可计算的；如果还存在一种并行算法表述，允许使用 P 个并行处理器在 N < D/P 步骤内解决问题，则该算法是实时物理可计算的。也就是说，通过随着问题复杂性的增加而增加处理器的数量，可以在一个恒定的（不随问题复杂性增加而增加）时间间隔内解决任何复杂性的问题。

数学中有一个领域专门研究算法的计算复杂性。该领域的一个基本结果表