13、图灵不可解性证明：计算边界与心智本质的探索

图灵不可解性证明：计算边界与心智本质的探索

1. 通用机的成就与疑问

通用机的设计是一项非凡的成就，它是计算机科学理论基础的一部分。通用机改变了人们对机器的传统看法，传统观念认为机器是行为由其组成部分和组装方式决定的僵化系统，而通用机表明，具有固定硬件的机器可以通过改变控制其行为的程序来呈现出多种行为方式。程序相当于图灵机的标准描述，由于图灵机有可数无穷多个，所以程序也有可数无穷多个，这为机器行为的灵活性提供了无限的空间。

在如此广阔的可能性面前，一个自然的问题是：通用图灵机是否存在无法完成的任务？答案是肯定的。图灵在“论可计算数”中给出了三个关于通用机无法完成之事的证明。在探讨这些证明之前，有必要先了解“图灵论题”及其与“丘奇论题”的关系。

2. 图灵论题与丘奇论题

图灵对可计算数的研究，部分是为了找到与“有效计算”这一非正式概念相对应的形式化表达。他认为自己抓住了规则计算的本质，并且这一观点得到了广泛认可。“图灵论题”指出，图灵机能够计算且仅能计算那些由人类计算者在遵循固定规则、拥有无限的纸张、铅笔和时间资源的情况下所能产生的数字。

“丘奇论题”则提出，有效可计算函数是递归的。由于二者最终等价，一些作者将其称为“丘奇 - 图灵论题”。不过，在应用这一论题时需要谨慎，有人声称所有机器都能被通用图灵机模拟，但这并不明显成立。图灵的分析主要针对遵循固定规则且受人类能力限制的机器，通用机是严格串行且功能状态离散的。虽然甘迪（Gandy）证明了图灵的分析可以扩展到并行离散机器，但要将该论题扩展到所有机器，还需要证明任何可想象的机器都能以标准描述格式进行描述。

3. 不可计算数与三大证明

3.1 图