35、利用类FFT置换矩阵构造弯曲函数

利用类FFT置换矩阵构造弯曲函数

1. 类FFT置换矩阵的替换规则

在构造弯曲函数的过程中，类FFT置换矩阵有着重要的作用。首先来看与基于移位的类FFT置换矩阵对应的替换规则，如下表所示：
| dd | kk | cc | 替换规则 |
| — | — | — | — |
| 22 | 00 | | (x_i \to 2x_j) |
| 11 | 00 | | (x_i \to x_j) |
| 11 | 22 | | (x_i \to x_j \oplus 2) |
| 22 | 22 | | (x_i \to 2x_j \oplus 2) |
| 11 | 11 | | (x_i \to x_j \oplus 1) |
| 22 | 11 | | (x_i \to 2x_j \oplus 1) |

这些替换规则是后续构造弯曲函数的基础，通过对变量进行特定的替换操作，可以得到不同的函数形式。

2. 利用类FFT置换矩阵构造三元弯曲函数

类FFT置换矩阵应用于基本弯曲函数时，可以产生其他的弯曲函数，因此可用于构造三元弯曲函数。下面主要讨论两个变量的三元弯曲函数的构造。

2.1 不同分布的弯曲函数构造示例

• 分布为(5, 2, 2)的弯曲函数 ：通过基本函数(f_1 = x_1x_2)，利用类FFT置换矩阵的可能组合，可以得到54个具有分布((5, 2, 2))的函数。相关矩阵如(P_1 = I(1) \otimes X_1^T)，(P_2 = X_1^T \otimes I(1))，(P_{1,2} = diag(I(1), X_1^T, X_1)) ，(P_{2,2})在示例中定义。部分函数及对应的置换矩阵如下表所示：
  | 函数 | 置换矩阵 |
  | — | — |
  | (F = x_1x_2) | |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1) | (P_1) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_2) | (P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1) | (P_1P_1) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_2) | (P_2P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus 1) | (P_1P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_2 \oplus 2) | (P_1P_2P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_2 \oplus 1) | (P_1P_1P_2P_2) |
  | (F = x_1x_2 \oplus (x_1)^2) | (P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus (x_1)^2) | (P_1P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_2 \oplus (x_1)^2 \oplus 2) | (P_1P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus (x_1)^2) | (P_1P_1P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_2 \oplus (x_1)^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus (x_1)^2) | (P_1P_1P_2P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_2 \oplus (x_1)^2 \oplus 1) | (P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_2 \oplus (x_1)^2 \oplus 1) | (P_2P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_2 \oplus (x_1)^2) | (P_1P_2P_2P_{1,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus (x_2)^2) | (P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus (x_2)^2 \oplus 2) | (P_1P_2P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_2 \oplus (x_2)^2) | (P_2P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus (x_2)^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2P_2P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_2 \oplus (x_2)^2) | (P_2P_2P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus (x_2)^2) | (P_1P_2P_2P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_2 \oplus (x_2)^2 \oplus 1) | (P_1P_1P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_2 \oplus (x_2)^2 \oplus 1) | (P_1P_{2,2}) |
  | (F = x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_2 \oplus (x_2)^2) | (P_1P_1P_2P_{2,2}) |

• 分布为(1, 4, 4)的弯曲函数 ：以基本函数(f_2 = x_1^2 \oplus x_2^2)为代表，可得到27个具有分布((1, 4, 4))的函数。部分函数及对应的置换矩阵如下表所示：
  | 函数 | 置换矩阵 |
  | — | — |
  | (x_1^2 \oplus x_2^2) | |
  | (x_1 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_2P_2) |
  | (x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_1) |
  | (x_1 \oplus x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2P_2) |
  | (2x_1 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_2) |
  | (2x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1) |
  | (2x_1 \oplus x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2) |
  | (x_1 \oplus 2x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_2P_2) |
  | (2x_1 \oplus 2x_2 \oplus x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_2) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2) | (P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_1P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_2P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 1) | (P_2P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_2 \oplus x_1^2 \oplus 2x_2^2 \oplus 1) | (P_2P_{2,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2) | (P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_2P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_1P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_1P_1P_2P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_1P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_2P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus x_1 \oplus 2x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 2) | (P_2P_{1,2}) |
  | (2x_1x_2 \oplus 2x_1 \oplus 2x_2 \oplus 2x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus 1) | (P_1P_{1,2}) |

2.2 构造示例

考虑弯曲函数(f = x_1x_2 \oplus x_1 \oplus x_1^2)，其函数向量为(F = [0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 2, 1]^T)。这个向量可以通过将函数(f = x_1x_2)的函数向量与由添加(x_1)和(x_1^2)的置换矩阵的乘积得到的置换矩阵相乘而获得。

3. 置换矩阵乘积的特点

在置换矩阵乘积的情况下，不同的类FFT置换矩阵组合（如因子矩阵）可能会产生相同的结果。这是因为不同的频谱不变操作可以以不同的顺序应用。

4. 生成两个变量的三元弯曲函数的算法

生成两个变量的三元弯曲函数的算法步骤如下：
1. 选择分布 ：选择分布(D_1)或(D_2)。
2. 选择基函数 ：选择基函数(f_1)或(f_2)。
3. 应用置换矩阵 ：对所选函数的函数向量应用与允许添加的项相对应的置换矩阵，同时保持函数的弯曲性。需要注意的是，对于所有包含的置换矩阵(P^3 = I(2))，其中(I(2))是一个((9 \times 9))的单位矩阵，这意味着同一个矩阵最多应用两次，这也是上述表格中矩阵的最大应用次数。
4. 函数值编码 ：对函数值进行编码。

这个算法为我们提供了一种系统的方法来生成两个变量的三元弯曲函数，通过合理选择分布、基函数和应用置换矩阵，可以得到不同的弯曲函数形式。

以下是算法的流程图：

graph TD;
    A[选择分布D1或D2] --> B[选择基函数f1或f2];
    B --> C[应用置换矩阵];
    C --> D[函数值编码];

通过上述的方法和算法，我们可以有效地构造出不同分布的三元弯曲函数，为相关领域的研究和应用提供了有力的工具。

利用类FFT置换矩阵构造弯曲函数

5. 置换矩阵性质对算法的影响

在上述生成两个变量的三元弯曲函数的算法中，置换矩阵的性质起着关键作用。已知对于所有包含的置换矩阵(P^3 = I(2))，其中(I(2))是一个((9×9))的单位矩阵。这一性质限制了同一个矩阵的应用次数，最多为两次。

从数学原理上来说，当(P^3 = I(2))时，意味着矩阵(P)的幂次具有周期性。如果应用矩阵(P)三次，就相当于应用了单位矩阵(I(2))，函数向量不会发生改变。所以在算法的第三步“应用置换矩阵”中，我们在选择矩阵组合时，需要考虑到这一限制。

例如，在构造分布为((5, 2, 2))或((1, 4, 4))的弯曲函数时，我们不能无限制地重复使用同一个置换矩阵。如果我们想要通过矩阵组合来得到新的弯曲函数，就需要巧妙地选择不同的矩阵进行相乘，以避免出现重复的结果。

6. 不同分布弯曲函数的特点分析

6.1 分布为((5, 2, 2))的弯曲函数

这类弯曲函数以基本函数(f_1 = x_1x_2)为基础，通过各种置换矩阵的组合得到。从表格中可以看出，不同的置换矩阵组合会在原函数的基础上添加不同的项，如(x_1)、(x_2)、((x_1)^2)、((x_2)^2)等。

这些添加的项会改变函数的性质和行为。例如，当添加(x_1)或(x_2)时，函数的输入输出关系会在某些点上发生变化。而添加((x_1)^2)或((x_2)^2)时，由于平方运算的非线性，函数的复杂度会进一步增加。

在实际应用中，分布为((5, 2, 2))的弯曲函数可能适用于对函数值分布有特定要求的场景。例如，在某些密码学应用中，需要函数的输出值在不同区间有特定的分布，以增加加密的安全性。

6.2 分布为((1, 4, 4))的弯曲函数

以基本函数(f_2 = x_1^2 \oplus x_2^2)为代表的这类弯曲函数，同样通过置换矩阵的组合得到新的函数形式。与分布为((5, 2, 2))的弯曲函数不同，它们的函数值分布更加集中在某些区间。

这类函数在添加项时，也会改变函数的特性。例如，添加(x_1)、(x_2)、(2x_1)、(2x_2)等项，会调整函数的对称性和周期性。在一些需要函数具有特定对称性或周期性的应用中，分布为((1, 4, 4))的弯曲函数可能会更合适。

7. 算法的实际应用与拓展

7.1 实际应用

生成两个变量的三元弯曲函数的算法在多个领域有实际应用。在密码学中，弯曲函数可以用于设计加密算法，其良好的非线性特性可以增加加密的安全性。通过算法生成不同分布的弯曲函数，可以根据具体的加密需求选择合适的函数。

在通信领域，弯曲函数可以用于信号处理。例如，在编码调制中，使用弯曲函数可以提高信号的抗干扰能力和传输效率。

7.2 算法拓展

该算法可以进行拓展以生成更多变量的三元弯曲函数。一种可能的拓展方法是：
1. 增加变量维度 ：将选择的基函数扩展到更多变量的函数，如(f = x_1x_2x_3)或(f = x_1^2 \oplus x_2^2 \oplus x_3^2)等。
2. 扩展置换矩阵 ：定义适用于更高维度的置换矩阵，这些矩阵需要满足保持函数弯曲性的条件。
3. 调整算法步骤 ：在算法的第三步“应用置换矩阵”中，考虑更多变量和矩阵的组合情况。同时，需要重新确定矩阵的最大应用次数，因为随着维度的增加，矩阵的性质可能会发生变化。

以下是拓展算法的流程图：

graph TD;
    A[选择更高维度分布] --> B[选择多变量基函数];
    B --> C[定义高维置换矩阵];
    C --> D[应用高维置换矩阵];
    D --> E[函数值编码];

8. 总结

通过利用类FFT置换矩阵，我们可以有效地构造出不同分布的三元弯曲函数。类FFT置换矩阵的替换规则为函数的构造提供了基础，而置换矩阵的组合和性质则决定了最终得到的弯曲函数的形式和特性。

生成两个变量的三元弯曲函数的算法为我们提供了一种系统的方法来进行函数构造，并且通过对算法的拓展，我们可以进一步生成更多变量的三元弯曲函数。这些弯曲函数在密码学、通信等领域有广泛的应用前景，为相关领域的研究和发展提供了有力的支持。

在实际应用中，我们需要根据具体的需求选择合适的分布和基函数，同时合理应用置换矩阵，以得到满足要求的弯曲函数。未来，随着相关领域的不断发展，对弯曲函数的研究和应用也将不断深入。