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三元弯曲函数的类别分析
1. 三元弯曲函数的度与搜索空间
在研究三元弯曲函数时，首先要了解其度的概念。对于二元弯曲函数，其度定义为代数范式（即正极性Reed - Muller表达式）中乘积项里变量的最大数量。二元弯曲函数的度限制在变量数量的一半（n/2）。对于三元弯曲函数，类似的度限制也适用于广义Reed - Muller表达式。
一个p元弯曲函数的最大度为$deg(f)=\frac{(p - 1)n}{2}+1$。当$p = 3$且$n = 3$时，最大度为4；而弱正则三元弯曲函数的最大度为$deg(f)=\frac{(p - 1)n}{2}$，此时为3。
为了确定n = 3且度不超过3的三元弯曲函数的类别，我们采用了Rothaus用于二元弯曲函数的方法。通过限制Reed - Muller域中弯曲函数的搜索空间，只考虑代数范式中与允许变量数量的乘积项对应的非零系数的函数。
由于给弯曲函数添加一个仿射函数会产生另一个弯曲函数，所以在代数范式中，只需允许二次项和三次项的系数不为零。当$p = 3$且$n = 3$时，有13个可能的位置，其中6个对应二次项，7个对应三次项。通过这种方式，我们生成了4212个度不超过3的三元弯曲函数。再给每个生成的弯曲函数添加变量和常数1的任意组合，又得到81个可能的弯曲函数。因此，n = 3时度不超过3的三元弯曲函数总数为$4212×81 = 341172$个，度不超过4的三元弯曲函数总数为$155844×81 = 12623364$个。
2. 三元弯曲函数的分类方法
在确定三元弯曲函数的类别时，我们利用了一个重要性质：给函数添加一个变量会改变复值Vilenkin - Chrestenson系数的相位，但不改变其值。由于我们处理的是Vilenkin - Chrestenson谱的绝对值，所以弯曲函数和通过添加变量从它们派生的函数具有相同的绝对值谱。从分类的角度来看，这意味着它们属于同一类。
我们通过分析4212个三元弯曲函数的矩阵值绝对值Vilenkin - Chrestenson谱，发现有五个不同的类别。具体信息如下表所示：
| 类别 | 模式 |
| — | — |
| 1 | $\begin{bmatrix}2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ |
| 2 | $\begin{bmatrix}3 & 3 & 3\0 & 0 & 0\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\3 & 3 & 3\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\0 & 0 & 0\3 & 3 & 3\end{bmatrix}$ |
| 3 | $\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\3 & 0 & 0\3 & 0 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 3 & 0\0 & 3 & 0\0 & 3 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 3\0 & 0 & 3\0 & 0 & 3\end{bmatrix}$ |
| 4 | $\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 3\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 3 & 0\2 & 2 & 2\2 & 2 & 2\end{bmatrix}$ |
| 5 | $\begin{bmatrix}3 & 2 & 2\2 & 2 & 0\2 & 0 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 2 & 2\2 & 2 & 3\2 & 0 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 2 & 2\2 & 2 & 0\2 & 3 & 2\end{bmatrix}$ |
此外，我们还通过对三个随机选择的三元弯曲函数应用谱不变操作，确定了三组三元弯曲函数。下表展示了这些初始弯曲函数以及通过谱不变操作从它们产生的不同三元弯曲函数的数量：
| 函数 | 弯曲函数数量 |
| — | — |
| $x_1^2\oplus x_2x_3$ | 14518 |
| $x_1^2\oplus x_2^2\oplus x_3^2$ | 13127 |
| $x_1x_3\oplus x_2^2$ | 12181 |
3. 示例分析
下面通过具体示例来进一步说明上述分类方法。
示例1
：考虑函数
$r = x_3^2\oplus 2x_2^2\oplus 2x_1x_3\oplus x_1x_3^2\oplus 2x_1x_2x_3\oplus x_1x_2^2\oplus 2x_1^2x_3\oplus 2x_1^2x_2$
$s = r\oplus x_2\oplus x_3$
计算它们的$(3×3)$矩阵值绝对值Vilenkin - Chrestenson谱，可得：
$S_r = S_s =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2\
2 & 2 & 0\
2 & 0 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 2\
2 & 2 & 3\
2 & 0 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 2\
2 & 2 & 0\
2 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}^T$
这表明添加变量不改变绝对值谱，它们属于同一类。
示例2
：函数$f_{c1}$、$f_{c2}$、$f_{c3}$、$f_{c4}$和$f_{c5}$分别属于表中类别1、2、3、4和5。它们的具体表示和矩阵值绝对值谱如下：
- $F_{c1} = [0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 2]^T$
$S_{f_{c1}} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}$
- $F_{c2} = [1, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2]^T$
$S_{f_{c2}} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\
3 & 3 & 3\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 & 3 & 3\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}$
- $F_{c3} = [2, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 2, 1]^T$
$S_{f_{c3}} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
0 & 0 & 3\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\
3 & 0 & 0\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3\
0 & 3 & 0\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}$
- $F_{c4} = [1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 0]^T$
$S_{f_{c4}} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}$
- $F_{c5} = [2, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 2]^T$
$S_{f_{c5}} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}$
4. 子类分析
在这种分类方法中，允许对矩阵的行和列进行置换，以及对行和列中的元素进行置换，同时矩阵值Vilenkin - Chrestenson谱中系数的顺序也可以置换。因此，每个类可以进一步划分为子类。例如，类别3可以分为两个子类，如下表所示：
| 类别 | 模式 |
| — | — |
| 1 | $\begin{bmatrix}0 & 3 & 0\3 & 0 & 0\0 & 0 & 3\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\0 & 0 & 3\0 & 3 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 3\0 & 3 & 0\3 & 0 & 0\end{bmatrix}$ |
| 2 | $\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\0 & 3 & 0\0 & 0 & 3\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 0 & 3\3 & 0 & 0\0 & 3 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}0 & 3 & 0\0 & 0 & 3\3 & 0 & 0\end{bmatrix}$ |
通过以上分析，我们对n = 3的三元弯曲函数的类别有了更深入的了解。这种分类方法有助于进一步研究三元弯曲函数的性质和应用。
5. 线性三元函数的谱特征
值得注意的是，线性三元函数具有一个单一的非零矩阵值系数，它是一个所有元素都等于1的$(3×3)$矩阵。不同线性函数的区别在于这个系数在谱中的位置，不同的线性函数可能具有相同的非零矩阵值系数。
总结
本文详细介绍了n = 3时三元弯曲函数的类别分析方法。通过限制搜索空间、利用谱的性质和进行谱不变操作，我们成功地对三元弯曲函数进行了分类，并发现了五个不同的类别和相应的子类。这些结果不仅有助于深入理解三元弯曲函数的结构，还为其在密码学、通信等领域的应用提供了理论基础。未来的研究可以进一步探索这些类别之间的关系，以及如何利用这些分类结果设计更高效的算法和系统。
graph LR
A[确定度限制] --> B[生成弯曲函数]
B --> C[添加变量和常数]
C --> D[计算谱绝对值]
D --> E[分类弯曲函数]
E --> F[分析子类]
以上就是关于n = 3的三元弯曲函数类别分析的详细内容，希望对相关领域的研究和应用有所帮助。
三元弯曲函数的类别分析
6. 更多示例验证分类方法
为了更全面地验证上述分类方法的有效性，我们再来看一些示例。
示例3
：函数$f_1$和$f_2$，它们的绝对值得谱分别为：
$S_{f_1} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}^T$
$S_{f_2} =
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}^T$
从谱的形式可以看出，$f_1$和$f_2$的绝对值得谱符合类别3的模式，所以它们都属于类别3。这进一步说明了通过计算绝对值得谱来分类三元弯曲函数的方法是可行的。
7. 分类方法的优势与实际意义
这种对三元弯曲函数进行分类的方法具有多方面的优势和实际意义。
-
简化研究过程
：将大量的三元弯曲函数划分为有限的类别和子类，大大减少了研究的复杂度。研究人员可以针对每个类别进行集中研究，从而更深入地了解不同类型三元弯曲函数的性质。
-
应用指导
：在实际应用中，如密码学和通信领域，不同类别的三元弯曲函数可能具有不同的性能特点。通过分类，我们可以根据具体的应用需求选择合适类别的函数，提高系统的性能和安全性。
-
发现新性质
：对不同类别和子类的研究可能会发现三元弯曲函数的一些新性质和规律，为进一步的理论研究提供基础。
8. 与其他函数分类方法的比较
与其他函数分类方法相比，基于矩阵值绝对值Vilenkin - Chrestenson谱的分类方法具有独特的优势。
| 分类方法 | 优点 | 缺点 |
| — | — | — |
| 基于矩阵值绝对值Vilenkin - Chrestenson谱 | 考虑了函数的谱特征，能反映函数的内在性质；分类结果具有一定的规律性，便于分析和研究 | 计算谱的过程相对复杂，需要一定的数学基础和计算资源 |
| 传统代数方法 | 基于函数的代数结构，直观易懂 | 对于复杂的函数，代数结构的分析可能比较困难，分类结果可能不够细致 |
9. 未来研究方向展望
虽然我们已经对n = 3的三元弯曲函数进行了较为深入的分类研究，但仍有许多方面值得进一步探索。
-
高维情况研究
：目前的研究主要集中在n = 3的情况，对于更高维度的三元弯曲函数，其类别分析可能会更加复杂。未来可以研究n > 3时的分类方法和规律。
-
类别之间的关系
：进一步研究不同类别和子类之间的关系，例如是否存在转换规则可以将一个类别转换为另一个类别，这有助于更全面地理解三元弯曲函数的结构。
-
应用拓展
：探索三元弯曲函数在更多领域的应用，如量子通信、数据加密等，并根据具体应用需求优化分类方法。
graph LR
A[现有分类方法] --> B[高维情况研究]
A --> C[类别关系探索]
A --> D[应用拓展]
B --> E[新分类方法]
C --> F[函数结构理解加深]
D --> G[多领域应用实现]
总结
本文围绕n = 3的三元弯曲函数的类别分析展开，详细介绍了度的概念、搜索空间的限制、分类方法以及具体示例。通过对线性三元函数谱特征的分析和与其他分类方法的比较，我们更清晰地认识到这种分类方法的优势和实际意义。未来的研究方向为进一步探索三元弯曲函数的性质和应用提供了方向。希望本文的研究成果能为相关领域的研究人员提供有价值的参考，推动三元弯曲函数在更多领域的应用和发展。
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