28、三元弯曲函数类：n = 3 和 n = 4 的情况

于 2025-09-06 11:18:47 发布
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三元弯曲函数类：n = 3 和 n = 4 的情况

1. 同一类中随机选择函数的值向量模式

在研究三元弯曲函数时，我们可以观察到同一类中随机选择的函数的值向量会呈现出特定的模式。下面通过具体的例子来进行说明。

1.1 示例 7.9

从第 55 类中随机选择两个三元函数 (f_3) 和 (f_4)，并将它们的值向量表示为矩阵形式：
[
f_3 =
\left[
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 \
1 & 2 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1 \
1 & 0 & 2 \
1 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\right]
]
[
f_4 =
\left[
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \
2 & 1 & 0 \
2 & 2 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 \
1 & 2 & 0 \
1 & 0 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\right]
]
在 (f_3) 中，模式 (1, 1, 1) 出现了两次，而在 (f_4) 中对应的是模式 (2, 2, 2)。由于在模 3 的情况下，(2 \equiv -1 \pmod{3})，所以模式 (2, 2, 2) 实际上是模式 (1, 1, 1) 的元素取负。此外，模式 (0, 0, 0) 和 (0, 1, 2) 在两个函数中分别出现了两次和六次。

1.2 示例 7.10

从第 11 类中随机选择两个三元函数 (f_5) 和 (f_6)，并将它们的真值向量表示为矩阵形式：
[
f_5 =
\left[
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \
0 & 2 & 1 \
1 & 0 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\right]
]
[
f_6 =
\left[
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
2 & 2 & 2 \
2 & 2 & 2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \
0 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \
2 & 1 & 0 \
1 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\right]
]

2. n = 3 时，4 次三元弯曲函数的 (3 × 3) 谱

随着函数次数的增加，弯曲函数的数量也会增多，相应的类别数量也会扩大。下面的表格展示了 (n = 3) 变量、次数为 4 的三元弯曲函数的新类别。

2.1 表格 7.4

类别 模式
1 (\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 3\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \ 2 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 0\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 3 \ 2 & 3 & 0\end{bmatrix})
2 (\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \ 3 & 0 & 0 \ 2 & 2 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 3 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 2 & 2 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 3 \ 2 & 2 & 2\end{bmatrix})
3 (\begin{bmatrix}3 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 2 \ 2 & 0 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 2 \ 2 & 0 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 0 \ 2 & 2 & 2 \ 2 & 3 & 2\end{bmatrix})
4 (\begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \ 2 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \ 2 & 0 & 3 \ 2 & 0 & 2\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \ 2 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 2\end{bmatrix})
5 (\begin{bmatrix}3 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 \ 2 & 0 & 0\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 0 \ 3 & 3 & 2 \ 2 & 0 & 0\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 2 \ 2 & 3 & 3\end{bmatrix})
6 (\begin{bmatrix}3 & 2 & 0 \ 0 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 0\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 0 \ 3 & 2 & 0 \ 0 & 2 & 3\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 0 \ 3 & 2 & 0\end{bmatrix})

2.2 示例 7.11

以下是属于表格 7.4 中各类别的函数示例。次数为 4 的弯曲函数属于表格 7.4 中的第 1 类。
[
F_{nova - 1} = [0, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1]^T
]
[
F_{nova - 2} = [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1]^T
]
[
F_{nova - 3} = [0, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 2]^T
]
[
F_{nova - 4} = [0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 2]^T
]
[
F_{nova - 5} = [0, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1]^T
]
[
F_{nova - 6} = [0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 1]^T
]
它们的 Reed - Muller 谱证实了这些函数的次数为 4：
[
R_{f_{nova - 1}} = [0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T
]
[
R_{f_{nova - 2}} = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0]^T
]
[
R_{f_{nova - 3}} = [0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0]^T
]
[
R_{f_{nova - 4}} = [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0]^T
]
[
R_{f_{nova - 5}} = [0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0]^T
]
[
R_{f_{nova - 6}} = [0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0]^T
]

2.3 流程图 

graph TD;
    A[开始] --> B[确定函数次数为 4, n = 3];
    B --> C[根据表格 7.4 分类];
    C --> D[选择函数并计算 Reed - Muller 谱];
    D --> E[验证函数次数为 4];
    E --> F[结束];

3. n = 4 时，三元函数的 (3 × 3) 谱

通过对初始函数 (f = x_1x_2 \oplus x_3x_4) 应用谱不变操作，我们生成了不同的四变量三元弯曲函数，并确定了它们的绝对值谱。

3.1 生成过程

  1. 应用谱不变操作生成四变量的三元弯曲函数。
  2. 去除由不同谱不变操作组合和应用顺序产生的相同函数。
  3. 最终得到 8580 个不同的四变量三元弯曲函数。

3.2 谱的特点

对于 (n = 4)，矩阵值的 Vilenkin - Chrestenson 谱由 9 个系数组成，这些系数是 (3 × 3) 矩阵。通过对这 8580 个函数的谱进行检查，发现了五类弯曲函数，其谱系数与之前表格中的系数相对应，但矩阵元素由 9 种不同的组合确定。此外，由于 Vilenkin - Chrestenson 变换中的归一化因子较大，矩阵元素的值需要除以 3 并四舍五入到最接近的整数。

3.3 第 66 类

除了上述五类，还有另一种绝对值 (3 × 3) 谱的值组合可以得到平坦谱，其中 Vilenkin - Chrestenson 系数的绝对值为 (3^2 = 9)。这种绝对值 mv 谱由 9 个系数组成，每个系数是一个 (3 × 3) 矩阵，且每个矩阵中只有一个非零元素，其位置在每个矩阵中都不同。这种谱构成了 (n = 4) 的三元弯曲函数的第 66 类。

3.4 示例 7.12

通过谱不变操作生成了 37908 个在算术范式中具有二次项的不同三元弯曲函数。下面的表格展示了这些二次三元弯曲函数在上述 6 类中的函数数量。

表格 7.5
类别 函数数量 ((#f))
1 26244
2 2592
3 2592
4 2592
5 2592
6 1296

3.5 示例 7.13

一个次数为 3 的四变量三元函数由以下函数向量指定：
[
F = [0, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1,
1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 0,
1, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0,
1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0,
0, 0, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0]^T
]
该函数的 (3 × 3) 绝对值谱由 9 个系数组成，这些系数是 (3 × 3) 矩阵，其中非零元素 9 位于以下位置：
[
q_0 =
\begin{bmatrix}
9 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
q_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
9 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
q_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
9 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[
q_3 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 9
\end{bmatrix},
q_4 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 9 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
q_5 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 9 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[
q_6 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 9 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
q_7 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 9 & 0
\end{bmatrix},
q_8 =
\begin{bmatrix}
0 & 9 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
该函数属于第 66 类，这是与三变量、次数为 3 的三元函数类别相比，四变量、次数为 3 的函数的额外类别。

3.6 流程图 

graph TD;
    A[开始] --> B[选择初始函数 f = x1x2 ⊕ x3x4];
    B --> C[应用谱不变操作生成函数];
    C --> D[去除相同函数];
    D --> E[确定函数数量为 8580];
    E --> F[分析谱特点];
    F --> G[确定第 66 类];
    G --> H[结束];

4. 三元弯曲函数类的综合分析

4.1 不同 n 值下的类别的对比

当 (n = 3) 和 (n = 4) 时，三元弯曲函数的类别呈现出不同的特点。在 (n = 3) 时，随着函数次数的增加，弯曲函数的类别增多，如次数为 4 的三元弯曲函数有新的类别出现，这些类别通过特定的矩阵模式来表示（如表 7.4 所示）。而在 (n = 4) 时，通过对初始函数应用谱不变操作生成了大量不同的弯曲函数，并且发现了新的类别，如第 66 类。

(n) 值 类别特点
(n = 3) 次数增加导致类别增多，类别由特定的矩阵模式表示
(n = 4) 通过谱不变操作生成大量函数，发现新的类别，矩阵元素组合更复杂

4.2 谱的计算与分析流程

无论是 (n = 3) 还是 (n = 4)，谱的计算和分析都遵循一定的流程。对于 (n = 3) 次数为 4 的函数，需要根据表格确定类别，然后计算 Reed - Muller 谱来验证函数次数；对于 (n = 4) 的函数，需要从初始函数开始，应用谱不变操作，去除相同函数后分析谱的特点并确定类别。 

graph LR;
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(确定 n 值):::process;
    B --> C{n = 3?}:::process;
    C -- 是 --> D(确定函数次数):::process;
    D --> E(根据表格分类):::process;
    E --> F(计算 Reed - Muller 谱):::process;
    F --> G(验证函数次数):::process;
    C -- 否 --> H(选择初始函数):::process;
    H --> I(应用谱不变操作):::process;
    I --> J(去除相同函数):::process;
    J --> K(分析谱特点):::process;
    K --> L(确定类别):::process;
    G --> M([结束]):::startend;
    L --> M;

4.3 模式的意义与应用

在同一类中随机选择的函数的值向量呈现出的模式具有重要意义。例如，在示例 7.9 中，(f_3) 中的模式 (1, 1, 1) 与 (f_4) 中的模式 (2, 2, 2) 存在关联（在模 3 下 (2 \equiv -1)），并且模式 (0, 0, 0) 和 (0, 1, 2) 在两个函数中出现的次数有一定规律。这些模式可以帮助我们更好地理解同一类函数的共性，在函数的设计和分析中具有潜在的应用价值。

4.4 谱不变操作的作用

谱不变操作在生成不同的三元弯曲函数中起到了关键作用。通过对初始函数应用谱不变操作，可以生成大量不同的函数，并且可以通过去除相同函数得到不同的类别。在 (n = 4) 的情况下，正是通过谱不变操作生成了 8580 个不同的三元弯曲函数，从而发现了新的类别。谱不变操作的具体步骤如下：
1. 选择初始函数，如 (f = x_1x_2 \oplus x_3x_4)。
2. 对初始函数应用谱不变操作，生成一系列函数。
3. 去除由不同谱不变操作组合和应用顺序产生的相同函数。

5. 总结与展望

5.1 总结

本文主要研究了 (n = 3) 和 (n = 4) 时三元弯曲函数的类别。在 (n = 3) 时，探讨了次数为 4 的三元弯曲函数的新类别及其矩阵模式，通过示例展示了函数的 Reed - Muller 谱验证。在 (n = 4) 时，通过谱不变操作生成了大量不同的函数，发现了新的类别，如第 66 类，并分析了其谱的特点。同时，还分析了同一类中函数值向量的模式以及谱不变操作的作用。

5.2 展望

未来的研究可以进一步探索更多变量下三元弯曲函数的类别和性质。可以研究不同谱不变操作的组合对生成函数的影响，寻找更高效的函数生成方法。此外，还可以将三元弯曲函数的研究应用到实际的通信、密码学等领域，发挥其在信息处理中的优势。

通过对三元弯曲函数类别的深入研究，我们可以更好地理解函数的特性，为相关领域的应用提供理论支持。

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