4、二元与三元弯曲函数的深入解析

二元与三元弯曲函数的深入解析

1. 二元弯曲函数概述

二元弯曲函数被定义为具有最大非线性的函数，它们与仿射布尔函数的汉明距离最大，等同于与一阶里德 - 穆勒码的距离最大。这些函数在编码理论、密码学、扩频通信等多个领域都有重要应用。例如，它们被用于流密码系统，矢量化流密码系统使用推广到模 (q) 整数环 (Z_q) 的弯曲函数。广义弯曲函数还用于多码码分多址（MC - CDMA）系统，以将峰功率比降至最低。

在 (q = 2) 时，弯曲函数在布尔函数总数中所占比例很小，而当 (q>2) 时，这个比例更小。由于其在应用中的重要性以及稀缺性，寻找弯曲函数并非易事。目前有两种主要方法来构造弯曲函数：
- 从变量较少的弯曲函数构造指定变量数的弯曲函数。
- 对给定的弯曲函数进行操作，构造指定变量数的其他弯曲函数。

2. 二元弯曲函数的性质

• 非线性与汉明距离 ：二元弯曲函数与仿射布尔函数的汉明距离为 (2^{n - 1}-2^{n/2 - 1})，这意味着它们与所有仿射函数的相关性最小。从频谱变换的角度看，一个二元函数是弯曲函数当且仅当它的沃尔什谱是平坦的，即在编码 ((0, 1)\to(1, - 1)) 下，其所有沃尔什系数的绝对值都等于 (2^{n/2})。
• 汉明重量 ：弯曲函数的真值向量中 1 的个数（汉明重量）唯一指定为 (2^{n - 1}-2^{n/2 - 1}) 或 (2^{n - 1}+2^{n/2 - 1})。因此，每个弯曲函数与任何仿射函数在等于汉明重量的点数上取值相同。