49、正弦交流波形：有效值、测量仪器及应用解析

正弦交流波形：有效值、测量仪器及应用解析

1. 有效值（rms）的概念与计算

在交流电路中，我们常常会遇到如何将交流量与直流量在功率传输方面进行关联的问题。虽然正弦交流电流在一个完整周期内的净电流为零（平均值为 0），但它却能输送净功率。这是因为无论电流方向如何，只要有电流通过电阻，就会有功率输送到该电阻上。

通过一个实验装置（如图 13.52 所示），我们可以推导出交流和直流电压、电流之间的固定关系。在这个实验中，一个置于水浴中的电阻通过开关分别连接到直流和交流电源。当开关 1 闭合时，直流电流 (I) 由电阻 (R) 和电池电压 (E) 决定，此时水达到的温度由电阻以热量形式耗散的直流功率决定。当开关 2 闭合、开关 1 断开时，通过电阻的交流电流峰值为 (I_m)，水达到的温度由电阻以热量形式耗散的交流功率决定。调节交流输入，直到水温与直流输入时相同，此时交流电源输送到电阻 (R) 的平均电功率与直流电源输送的功率相同。

交流电源在任意时刻输送的功率为：
(P_{ac} = (i_{ac})^2R = (I_m \sin \omega t)^2R = (I_m^2 \sin^2\omega t)R)
利用三角函数恒等式 (\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2})，可得：
(P_{ac} = I_m^2\frac{(1 - \cos 2\omega t)}{2}R = \frac{I_m^2R}{2} - \frac{I_m^2R}{2} \cos 2\omega t)
由于余弦波的平均值为零，所以交流电源输送的平均功率为：
(P_{av(ac)} = \frac{I_m^