10、模糊逻辑与分形理论在时间序列分析、模式识别及复杂动力系统建模中的应用

模糊逻辑与分形理论在时间序列分析、模式识别及复杂动力系统建模中的应用

1. 模糊分形方法用于模式识别

在图像处理应用的模式识别中，可运用之前时间序列预测的相关思路。与时间序列预测不同的是，这里的数据与时间无直接关联，仅使用真实的几何变量。

考虑 $n$ 个对象 $O_1, O_2, \cdots, O_n$ 以及对应的 $n$ 个聚类中心 $(X_i, Y_i)$，$i = 1, \cdots, n$，模糊规则库可表述如下：
- 如果维度是 $d_{O1}$，则对象是 $O_1$；
- 如果维度是 $d_{O2}$，则对象是 $O_2$；
- $\cdots$
- 如果维度是 $d_{On}$，则对象是 $O_n$。

要完整定义这个用于模式识别的模糊系统，需要定义分形维度和对象的隶属函数。分形维度的计算方法与之前相同，模糊推理可采用 Mamdani 或 Sugeno 类型。

这种结合模糊逻辑和分形理论的新方法，在预测美元/墨西哥比索汇率等问题上取得了良好效果，还可应用于类似的预测问题。与神经网络方法相比，使用模糊规则库具有一定优势。

2. 基于微分方程的模糊推理系统建模复杂动力系统

经典的 Sugeno 模糊推理系统（TSK 模糊模型）由 Takagi、Sugeno 和 Kang 在 1985 年提出，用于从给定的输入 - 输出数据集生成模糊规则。典型的 Sugeno 模糊规则形式为：如果 $X$ 是 $A$ 且 $y$ 是 $B$，那么 $z = f(x, y)$，其中 $A$ 和 $B$ 是模糊集，$z = f(x, y)$ 是清晰函数，通常为多项式。