9、卷积网络：原理、应用与发展

卷积网络：原理、应用与发展

1. 卷积网络概述

卷积网络，也被称为卷积神经网络（CNNs），是一种专门用于处理具有已知网格状拓扑结构数据的神经网络。常见的数据类型包括时间序列数据（可看作一维网格，按规则时间间隔采样）和图像数据（可看作二维像素网格）。卷积网络在实际应用中取得了巨大成功，其名称源于网络中使用的卷积这一数学运算，卷积是一种特殊的线性运算，卷积网络至少在一层中使用卷积代替了一般的矩阵乘法。

2. 卷积操作

2.1 卷积的定义

在最一般的形式中，卷积是对两个实值参数函数的操作。以跟踪宇宙飞船位置为例，激光传感器提供飞船在时间 $t$ 的位置 $x(t)$，但传感器有噪声，为获得更准确的位置估计，我们使用加权函数 $w(a)$ 对多个测量值进行加权平均，其中 $a$ 是测量值的时间间隔。这样得到的新函数 $s(t)$ 为：
[s(t) = \int x(a) w(t - a) da]
这个操作就是卷积，通常用星号表示：$s(t) = (x * w)(t)$。

2.2 离散卷积

在实际计算机处理中，时间通常是离散的。假设激光传感器每秒提供一次测量值，时间索引 $t$ 只能取整数值，此时离散卷积定义为：
[s(t) = (x * w)(t) = \sum_{a = -\infty}^{\infty} x(a) w(t - a)]

2.3 多维卷积

在机器学习中，输入通常是多维数据数组（张量），卷积也常应用于多个轴。例如，对于二维图像 $I$ 和二维核 $K$，卷积输出 $S$ 为：
[S(i, j) = (I * K)(i,