8、下推自动机：原理、转换与应用

下推自动机：原理、转换与应用

1. 引言

在讨论正则表达式时，我们常常提及一种“神奇函数”，用于检查任意字符串是否与给定的正则表达式匹配。后来发现，有限状态机能够简单地实现这个“神奇函数”。正则文法虽本身不包含构建该函数的算法，但可转换为有限自动机。然而，上下文无关文法的情况更为复杂，有限自动机的能力不足以识别非正则语言，如下文无关语言。那么，什么样的设备具备足够的识别能力呢？这就引出了下推自动机。

2. 下推自动机的组织

2.1 一般要点

下推自动机实际上是对普通有限状态机的“改进”，主要是在机器中增加了栈内存。栈是用于存储（通常是同类）数据的结构，有两个基本操作：
- 入栈（push）：将数据对象放置在栈顶。
- 出栈（pop）：从栈顶取出数据对象。

栈被认为是无限的，因此不会出现溢出问题。但如果在机器运行过程中尝试从空栈中取出数据，这类似于应用不存在的规则，通常会导致输入字符串被拒绝。

2.2 与普通有限状态机的区别

下推自动机在很多方面与普通有限状态机相似，但也有以下显著区别：
| 比较项 | 普通有限状态机 | 下推自动机 |
| ---- | ---- | ---- |
| 栈 | 无 | 有，初始为空，可存储“栈符号集”中的元素 |
| 转移规则 | 匹配 (状态, 符号) 对到新状态 | 匹配 (状态, 符号, 栈) 三元组到 (状态’, 栈’) 对，允许不读取下一个符号的转移（ε - 转移） |
| 字符串接受标准 | 以有利状态结束工作即可 | 除了以有利状态结束工作，栈还需为空（也可仅按有利状态或仅