本文介绍了波动方程的一维无界弦上的行波解，即d' Alembert解。通过初始条件确定解的形式，揭示了行波如何独立向左、右传播，并讨论了解的物理意义。最后提到了解决偏微分方程的另一种方法——分离变量法。
波动方程的行波解
我们曾经讨论过波动方程 ∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0 ∂t2∂2u−a2∂x2∂2u=0的通解，这里，把它改写成
u ( x , t ) = f ( x − a t ) + g ( x + a t ) u(x, t)=f(x-a t)+g(x+a t) u(x,t)=f(x−at)+g(x+at)
其中 f f f 和 g g g 是任意二阶可微函数。这个解式表明，波动方程的通解由两个波组成： f ( x − a t ) f(x-a t) f(x−at) 代表沿 x x x 轴向右传播的波，当 t = 0 t=0 t=0 时，波形为 f ( x ) f(x) f(x)，而后以恒定速率 a a a 向右传播，而保持波形不变； g ( x + a t ) g(x+a t) g(x+at) 则代表沿 x x x 轴向左传播的波，当 t = 0 t=0 t=0 时，波形为 g ( x ) g(x) g(x)，而后也以同样的恒定速率 a a a 向左传播，保持波形不变。单独的 f ( x − a t ) f(x-a t) f(x−at)
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