33、二维水流分析与有限差分方法

二维水流分析与有限差分方法

1. 问题背景与二维水流分析的引入

在许多实际情况中，一维水流假设并不适用。例如，在非棱柱形渠道（即横截面和走向变化的渠道）、部分溃坝下游的水流，或者从决堤处的侧向水流等情况下，水流实际上是三维的。不过，通过使用垂直平均量将这些情况简化为二维水流进行分析，不仅能大大简化分析过程，还能得到具有合理精度的结果。接下来，我们将详细探讨二维水流的分析方法，包括推导描述非恒定二维水流的方程，以及介绍用于求解这些方程的显式和隐式有限差分方法。

2. 非恒定二维水流控制方程的推导

2.1 基本假设与坐标系设定

我们将通过对不可压缩流体的 Navier - Stokes 方程在水流深度上进行积分来推导控制方程。除一维水流情况外，采用与之前类似的假设，同时考虑大底坡的影响，并假设渠道底部为倾斜平面。采用笛卡尔正交坐标系，其中 x - y 平面平行于渠道底部平面，正 z 方向向上且垂直于 x - y 平面。

2.2 Navier - Stokes 方程

不可压缩流体的 Navier - Stokes 方程如下：
- 连续性方程：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
- 动量方程：
$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\parti