二维水流分析与有限差分方法
1. 问题背景与二维水流分析的引入
在许多实际情况中,一维水流假设并不适用。例如,在非棱柱形渠道(即横截面和走向变化的渠道)、部分溃坝下游的水流,或者从决堤处的侧向水流等情况下,水流实际上是三维的。不过,通过使用垂直平均量将这些情况简化为二维水流进行分析,不仅能大大简化分析过程,还能得到具有合理精度的结果。接下来,我们将详细探讨二维水流的分析方法,包括推导描述非恒定二维水流的方程,以及介绍用于求解这些方程的显式和隐式有限差分方法。
2. 非恒定二维水流控制方程的推导
2.1 基本假设与坐标系设定
我们将通过对不可压缩流体的 Navier - Stokes 方程在水流深度上进行积分来推导控制方程。除一维水流情况外,采用与之前类似的假设,同时考虑大底坡的影响,并假设渠道底部为倾斜平面。采用笛卡尔正交坐标系,其中 x - y 平面平行于渠道底部平面,正 z 方向向上且垂直于 x - y 平面。
2.2 Navier - Stokes 方程
不可压缩流体的 Navier - Stokes 方程如下:
- 连续性方程:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
- 动量方程:
$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\parti