32、有限差分方法在浅水方程数值积分中的应用

有限差分方法在浅水方程数值积分中的应用

1. 有限差分方法概述

在研究浅水流动时，有限差分方法是一种常用的数值积分手段。通过数值实验，Evans（1977）以及Yen和Lin（1986）对特定流动参数下完整圣维南方程的某种格式稳定性进行了研究。这种研究不依赖线性化分析，但结论基于特定参数范围，不具有普遍性。

2. 求解过程

对式（14 - 29）展开可得：
[
\begin{align }
A_{i}^{k + 1}+A_{i + 1}^{k + 1}+2\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[\alpha\left((VA) {i + 1}^{k + 1}-(VA) {i}^{k + 1}\right)+(1 - \alpha)\left((VA) {i + 1}^{k}-(VA) {i}^{k}\right)\right]&=A_{i}^{k}+A_{i + 1}^{k}\
(VA) {i}^{k + 1}+(VA) {i + 1}^{k + 1}+2\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[\alpha\left((V^{2}A) {i + 1}^{k + 1}-(V^{2}A + gA\bar{y}) {i}^{k + 1}\right)\right]-g\Delta t\left[\alpha\left(A_{i + 1}^{k + 1}(S_{o}-S_{f}) {i + 1}^{k + 1}+A {i}^{k + 1}(S_{o}-S_{f})