30、数值方法在明渠水流模拟中的应用

数值方法在明渠水流模拟中的应用

1. 特征网格法

特征网格法是一种用于求解明渠水流问题的数值方法。在之前推导的特征法中，时间和空间间隔是指定的，这种方法被称为指定间隔法。但由于并非所有特征线都能穿过网格点，使用指定间隔法时，在时间或空间上进行插值是必要的。而特征网格法通过沿特征线对特征形式的方程进行积分，避免了插值的需要。

假设在点L和R处已知水流深度（进而可知c）和流速，通过这两点的特征线相交于点P。点P的位置并非预先已知，而是由以下方程确定：
- 若(\frac{dx}{dt}=V + c)，则(\frac{d}{dt}(V + 2c)=g(S_0 - S_f))
- 若(\frac{dx}{dt}=V - c)，则(\frac{d}{dt}(V - 2c)=g(S_0 - S_f))

通过对上述方程乘以(dt)，积分并应用极限，可得到以下方程：
- ((V + 2c) P = (V + 2c)_L + g\int {L}^{P}(S_0 - S_f) dt)
- (x_P = x_L + \int_{L}^{P}(V + c) dt)
- ((V - 2c) P = (V - 2c)_R + g\int {R}^{P}(S_0 - S_f) dt)
- (x_P = x_R + \int_{R}^{P}(V - c) dt)

在实际计算中，由于不知道沿特征线的(V)、(c)和(S_f)的值，需要进行近似计算。使用梯形法则计算积分后，上述方程可写为：
- (x_P = x_L + (t_P - t_L)[\frac{1}{2}(V_P + c_