28、一维水流控制方程解析

一维水流控制方程解析

1. 圣维南方程

1.1 连续性方程

在明渠水流中，水通常被假定为不可压缩且具有恒定质量密度，因此质量守恒定律等同于连续性方程。考虑一个具有固定边界的控制体，若截面 1 和 2 之间的水流是非恒定且不均匀的，那么流量 (Q)、流速 (V) 和水深 (y) 是距离 (x)（下游方向为正）和时间 (t) 的函数。

根据雷诺输运定理，可得到：
[
\frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2} \rho A dx + \rho A_2 V_2 - \rho A_1 V_1 - \rho q_l (x_2 - x_1) = 0
]
其中，(A) 为过流面积，(\rho) 为水的质量密度，(q_l) 为截面 1 和 2 之间单位长度渠道的侧向入流或出流的体积流量。侧向入流 (q_l) 为正，出流为负。由于水不可压缩，(\rho) 为常数，上式可写为：
[
\frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2} A dx + A_2 V_2 - A_1 V_1 - q_l (x_2 - x_1) = 0
]

通过应用莱布尼茨法则和中值定理，可得到连续性方程的微分形式：
[
\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = q_l
]
此方程被称为守恒或发散形式的连续性方程。若 (q_l = 0)，则在 (x - t) 平面上任何封闭轮廓上质量守恒；若 (q_l \neq 0)，则该项根据其正负充当源或汇。