4、流体定常流动守恒定律及相关概念解析

流体定常流动守恒定律及相关概念解析

1. 伯努利方程及其适用条件

从方程 $\frac{1}{2} \rho V_{s}^{2}+p+\gamma z = constant$ 出发，两边同时除以 $\gamma$ 后，得到 $z + \frac{p}{\gamma}+\frac{V_{s}^{2}}{2g}=H = constant$。这里的积分常数 $H$ 被称为总水头，此方程就是伯努利方程。它沿流线是有效的，若流动为无旋流，那么在整个流场中该方程都有效。需要注意的是，由于推导时基于欧拉方程（适用于无粘性流体）且假设密度 $\rho$ 为常数，所以伯努利方程适用于定常、无旋、不可压缩且无粘性的流动。

伯努利方程的每一项都代表单位重量的能量，具有长度的量纲。总水头由三部分组成：基准水头 $z$ 代表势能；压力水头 $\frac{p}{\gamma}$；速度水头 $\frac{V_{s}^{2}}{2g}$ 代表动能。

不同流动状态下，方程有不同的表现形式：
- 定常均匀流 ：当地加速度和对流加速度都为零，方程 $\frac{d}{ds}(p + \gamma z)=0$ 经积分后得到 $\frac{p}{\gamma}+z = constant$，$\frac{p}{\gamma}+z$ 被称为测压管水头，该方程代表静水压力分布。
- 非定常非均匀流 ：当地加速度和对流加速度都不为零，通过对方程进行一系列运算，得到 $\rho \int \frac{\partial V_{s}}{\partial t}ds+\rho \int V_{s}dV_{s}+(p + \gamma z)=Co